Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г + 2(йХг = д. (10.10.29)
Если при t~0 г = 0 и г —и, то после интегрирования получим
r + 2<axr = u + gt. (10.10.30) Пренебрегая здесь членами порядка со, находим первое приближение:
1
r=ut+-^gt2. (io.io.3i)
Чтобы найти второе приближение (а это как раз нам и требуется), подставим выражение (10.10.31) в отброшенный нами малый член в уравнении (10.10.30). Таким образом, с точностью до членов порядка со будем иметь
r = u + gt— 2wx (™'+y Ot^ . (10.10.32)
Окончательно получаем
г = ut+J- д&— (<в х м) Р— (<в х д) «3/3.
(10.10.33)
Полагая и={щ, v0, w0}, д={0, 0, —g}, <а={ — cocosO, 0, cosinO}, видим, что решение (10.10.33) эквивалентно решению (10.10.26).
б) Если частица начинает движение из состояния покоя (начало координат мы помещаем над поверхностью Земли), так что все и0, v0, W0 равны нулю, то главные члены решения имеют вид
1 1
X = -g (g cos 9 sin 6) оЛ4 = у Гт4 cos 9 sin 6,
1 1
у = -j (g cos 9) a>t3 = у Гт3 cos 9,
z= gt2 + у (g cos2 9)00?4= — у Гт2 +у Tt4COs2 9.
(10.10.34)
13*
1Я6
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
ГГл. X
Как и следовало ожидать, наиболее существенным оказывается отклонение от вертикали к востоку. В самом деле, поскольку
у== і со/sine, (10.10.35)
отклонение к югу мало по сравнению с отклонением к востоку.
3) Вернемся теперь к уравнениям (10.10.15) и произведем сравнительную оценку различных членов, которыми мы пренебрегли в п. 2. Выясним, какие из этих членов наиболее существенны для более точного расчета. Для этого необходимо определить численные значения различных коэффициентов. Рассмотрим более подробно первое уравнение и по-прежнему будем считать к = 51°30' (так что ? будет приближенно равно 6'). Имеем
2со sin Є = 1,14-10"4, 1-=1,54-10-«, <оа sin2 Є = 3,25 • 10~9, (о2 cos Є sin 9 = 2,57 • 10"»,
6-^- = 2,05-10"9, 3^=7,73-10"9.
а а '
Что касается последнего члена в правой части первого уравнения (10.10.15), то коэффициент при X равен ^| z, и даже если z имеет порядок одной мили
г 1
(так что — = j==), то и тогда этот коэффициент равен всего лишь около 1,17 • 10"9.
Итак, можно заключить, что для более точного расчета самым важным является первый член в правой части, а именно — {glа) х; он важнее, чем члены порядка со2, члены, содержащие ей?, или члены порядка g(pla)2. Аналогичные замечания можно сделать и в отношении второго и третьего уравнений (10.10.15). Таким образом, уравнения третьего приближения для задачи о полете снаряда запишутся в следующем виде:
X — 2со sin 9 у = — Ti2X,
* • • •
у -f- 2со sin 9 X-f- 2со cos 9z= — n2y, z = 2co cos 9 у = —g+ 2«2z,
где ri2 = g/a.
(10.10.36)
§ 10.11. Диссипативная функция Релея. Если среди заданных сил имеются силы, зависящие от скорости, то они могут оказать влияние на члены Qr в уравнениях Лагранжа (6.2.1). В некоторых случаях, когда силы являются гироскопическими (например, в задаче о движении заряженной частицы в магнитном поле, сМ. § 10.6), они могут быть учтены путем присоединения к выражению для L соответствующих линейных членов. В этом параграфе мы рассмотрим другой класс задач, связанных с силами, зависящими от скорости. Речь будет идти о силах сопротивления, или диссипативных силах, действующих на каждую частицу в направлении, противоположном ее скорости. Мы ограничимся исследованием простого случая, когда сила сопротивления пропорциональна скорости. Уравнения движения (2.2.12) запишутся теперь в форме
т'Тхг = Хг + X'r - kr'xT, г = 1, 2, .... N, (10.11.1)
причем коэффициенты кг, подобно коэффициентам тг, будут иметь одно и то же значение для трех членов, относящихся к одной частице: к3г_2 = &зг-і = = к3г. Коэффициенты к, подобно коэффициентам т, положительны, но, в от-
§ 10.11]
ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ РЕЛЕЯ
197
личие от т, они могут зависеть как отх, так и от г. Так как при произвольном виртуальном перемещении
iV
2 Х;O2V--=0, (2.2.10)
г=1
то основное уравнение (3.1.1) принимает теперь вид
N N
2 (mr'xr — ХТ) for + 2 кгхг8хг = 0. (10.11.2)
T= 1 T= 1
Предположим, что система голономна и имеет п степеней свободы, и введем лагранжевы координаты qt, q2, . . ., qn. Рассмотрим простой случай, когда переменные х зависят только от q и не зависят от t, а силы Хг (т. е. заданные силы, не являющиеся диссипативными) консервативны. Первое слагаемое в левой части равенства (10.11.2) известным образом (§ 6.1) выражается через лагранжевы координаты, остается рассмотреть второе слагаемое
N
2 кТхТЬхТ. Согласно лемме 1 § 6.1 имеем
г=1
п п
-5^=2 -^0?- (ю.11.3)
s=l " s=l дЬ
Отсюда
N п N
2 = 2(2 ь'*'^-) (юл+)
r=l s=l r=l 9Ia
Введем диссипативную функцию Релея F, представляющую собой сумму 1 дт •
~2~ 2 krxr, выраженную через q и q. Эта функция в известном смысле анало-
г=1
гична функции кинетической энергии Т: она представляет собой однородную
квадратичную форму переменных q с коэффициентами, зависящими от q, и является определенно-положительной при всех значениях q. Уравнение (10.11.4) можно теперь представить в следующей форме:
