Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Sm (у z—zy) -=0,
Smx = 0,
(1.0.15.6)
*) Дальнейшее развитие идей этого параграфа содержится у J. Ie R о u х, Principes mathematiques de Ia theorie de Ia Gravitation, Gauthier-Villars. Paris, 1931.
Глава XI ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
§ 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа. В специальной теории относительности масса частицы считается переменной, зависящей от скорости частицы. Если масса частицы в состоянии покоя равна та, то при движении со скоростью V ее масса будет определяться выражением
т= гт° = , (11.1.1)
где с — скорость света. В большей части практических случаев отношение vie мало и т можно считать равным т0. Отличие становится заметным лишь тогда, когда vie приближается к единице: при v с т ->¦ оо.
Поэтому необходимо исследовать, какие изменения претерпит развитая ранее теория, если массу частицы считать функцией скорости: т = cp (v). Теоретически нет необходимости требовать, чтобы функция ц>(р) была одной и той же для всех частиц, хотя обычно в приложениях зависимость cp (v) принимается в виде (11.1.1) для всех частиц.
В случае точки переменной массы второй закон Ньютона P = mf записывают в форме P = L (mv): произведение массы на ускорение заменяют
производной от импульса. Логические основания для такой замены даются теорией относительности. Первое, что бросается в глаза, это то, что в общем случае направление ускорения не совпадает с направлением силы. В самом деле,
P = mf+mv. (11.1.2)
Уравнения движения свободной частицы в неподвижных прямоугольных осях координат имеют вид
-L(mz) = X, -L(W) = Y, -L(mz) = Z. (11.1.3)
Рассмотрим систему частиц переменной массы. В обозначениях § 2.2 уравнения движения (2.2.12) заменятся следующими:
-L(mrxr) = Xr+X'r, r=l,2,...,N. (11.1.3)
Для произвольного виртуального перемещения имеем
2 X'rbxr = 0.
Основное уравнение (3.1.1) запишется теперь в виде
2 {^К*г)-Хг}в*г==0. (11.1.4)
г=1
Если-массы частиц постоянны, то уравнение (11.1.4) принимает, разумеется, форму (3.1.1).
208
ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
I Гл. XI
Рассмотрим теперь голономную консервативную систему с п степенями свободы. Введем лагранжевы координаты , q2, . . ., qn. Соотношение
п
&xr= ^ ^1Og8 и уравнение (11.1.4), справедливое для любой системы зна-
4—1 oqs
S = 1
чений Sg1, 8q2, . . ., 8qn, позволяют написать следующие уравнения:
N
S 4 "И" ==—Sr ' *=1»2, ...,п. (11.1.5)
Применим к ним преобразование § 6.1. Для этого воспользуемся доказанными ранее леммами, а именно:
дхг_^_дхг_ (6.1.3)
¦4 '
^ = /6 14)
dq„ dt \dqj- 1^'
С помощью этих лемм уравнения (11.1.5) можно записать в форме
r=l г=1
ИЛИ
¦Эу oV
____і .чттїї? -. l — .vmi) .
dt
ISmv ^L)-SmV 4^-= -f--. (11.1.7)
V g-J dqs 6qs
Мы пишем символ S, поскольку суммирование производим по V частицам, а не по TV координатам. Это удобнее, так как масса каждой частицы зависит от ее скорости.
Введем функцию
Т* = S j mv dv (11.1.8)
или, точнее.
v
T* = S I ф(х) xdx. (11.1.9)
о
Уравнения (11.1.7) тогда запишутся в виде
Уравнения движения можно записать в форме Лагранжа, если положить
L = Т* — V. (11.1.11)
Отметим, что в общем случае Т* не является квадратичной формой от q, как это имело место в случае постоянных масс.
§ 11.2. Кинетическая энергия. Предположим теперь, что все координаты хг зависят только от q и не зависят от і. Введем функцию T — кинетическую энергию, которую определим так, чтобы удовлетворялось уравнение энергии в первой форме (3.3.2):
^L = S (Xx+Yy+ Zz). (11.2.1)
S 11.4]
ДВИЖУЩИЙСЯ ЭЛЕКТРОН
209
При замене 8хг на хт основное уравнение (11.1.4) остается справедливым, так что из (11.2.1) получаем
aT „ Г • d , \ ' d , \ • d , Vl
IT = S Xх St (mx) + У 4t № + z4t (mz)| = = S {m(x2Jry2Jrz2)Jrm(x x+yy + z z')} = = S (mv2+mvv) = Sv-^(mv). (11.2.2)
Отсюда
T = S \ v-^(mv)dt = S (mv2 — j mvdv) =Smv2— T*. (11.2.3)
Определяемая этим соотношением функция T есть функция кинетической энергии. Если действующие на систему силы консервативны и обладают потенциалом V, то справедливо уравнение, аналогичное уравнению энергии:
T + V = С. (11.2.4)
В случае постоянных масс выражение для T принимает обычный вид — Smv2, что было очевидно с самого начала.
§ 11.3, -Функция Гамильтона. Составим теперь выражение для функции Гамильтона. Имеем
Рт = ^+ = Smv^- = Sm^r- (^v2), (11.3.1)
dqr dqT dqr 4 Z '
и, следовательно,
п
У\ РгЯг — L = SmqT -+- (-^ v2) — S [ mv dv -f- V = r=l dqT V2 ' •>
= Smv2 — S j mvdv + V = T+Vr (11.3.2)
Мы здесь воспользовались тем, что v2 представляет собой однородную квадратичную функцию от q. Таким образом,
H = T + V, (11.3.3)
где T следует выразить через q и р. Заметим, что H не имеет той формы, к которой мы привыкли в задачах с постоянными массами. Теперь T не является квадратичной функцией от р.
§ 11.4. Движущийся электрон. Рассмотрим движущийся в пространстве электрон. Имеем