Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 93

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 290 >> Следующая


Sm (у z—zy) -=0,

Smx = 0,

(1.0.15.6)

*) Дальнейшее развитие идей этого параграфа содержится у J. Ie R о u х, Principes mathematiques de Ia theorie de Ia Gravitation, Gauthier-Villars. Paris, 1931.

Глава XI ПЕРЕМЕННАЯ МАССА

§ 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа. В специальной теории относительности масса частицы считается переменной, зависящей от скорости частицы. Если масса частицы в состоянии покоя равна та, то при движении со скоростью V ее масса будет определяться выражением

т= гт° = , (11.1.1)

где с — скорость света. В большей части практических случаев отношение vie мало и т можно считать равным т0. Отличие становится заметным лишь тогда, когда vie приближается к единице: при v с т ->¦ оо.

Поэтому необходимо исследовать, какие изменения претерпит развитая ранее теория, если массу частицы считать функцией скорости: т = cp (v). Теоретически нет необходимости требовать, чтобы функция ц>(р) была одной и той же для всех частиц, хотя обычно в приложениях зависимость cp (v) принимается в виде (11.1.1) для всех частиц.

В случае точки переменной массы второй закон Ньютона P = mf записывают в форме P = L (mv): произведение массы на ускорение заменяют

производной от импульса. Логические основания для такой замены даются теорией относительности. Первое, что бросается в глаза, это то, что в общем случае направление ускорения не совпадает с направлением силы. В самом деле,

P = mf+mv. (11.1.2)

Уравнения движения свободной частицы в неподвижных прямоугольных осях координат имеют вид

-L(mz) = X, -L(W) = Y, -L(mz) = Z. (11.1.3)

Рассмотрим систему частиц переменной массы. В обозначениях § 2.2 уравнения движения (2.2.12) заменятся следующими:

-L(mrxr) = Xr+X'r, r=l,2,...,N. (11.1.3)

Для произвольного виртуального перемещения имеем

2 X'rbxr = 0.

Основное уравнение (3.1.1) запишется теперь в виде

2 {^К*г)-Хг}в*г==0. (11.1.4)

г=1

Если-массы частиц постоянны, то уравнение (11.1.4) принимает, разумеется, форму (3.1.1).

208

ПЕРЕМЕННАЯ МАССА

I Гл. XI

Рассмотрим теперь голономную консервативную систему с п степенями свободы. Введем лагранжевы координаты , q2, . . ., qn. Соотношение

п

&xr= ^ ^1Og8 и уравнение (11.1.4), справедливое для любой системы зна-

4—1 oqs

S = 1

чений Sg1, 8q2, . . ., 8qn, позволяют написать следующие уравнения:

N

S 4 "И" ==—Sr ' *=1»2, ...,п. (11.1.5)

Применим к ним преобразование § 6.1. Для этого воспользуемся доказанными ранее леммами, а именно:

дхг_^_дхг_ (6.1.3)

¦4 '

^ = /6 14)

dq„ dt \dqj- 1^'

С помощью этих лемм уравнения (11.1.5) можно записать в форме

r=l г=1

ИЛИ

¦Эу oV

____і .чттїї? -. l — .vmi) .

dt

ISmv ^L)-SmV 4^-= -f--. (11.1.7)

V g-J dqs 6qs

Мы пишем символ S, поскольку суммирование производим по V частицам, а не по TV координатам. Это удобнее, так как масса каждой частицы зависит от ее скорости.

Введем функцию

Т* = S j mv dv (11.1.8)

или, точнее.

v

T* = S I ф(х) xdx. (11.1.9)

о

Уравнения (11.1.7) тогда запишутся в виде

Уравнения движения можно записать в форме Лагранжа, если положить

L = Т* — V. (11.1.11)

Отметим, что в общем случае Т* не является квадратичной формой от q, как это имело место в случае постоянных масс.

§ 11.2. Кинетическая энергия. Предположим теперь, что все координаты хг зависят только от q и не зависят от і. Введем функцию T — кинетическую энергию, которую определим так, чтобы удовлетворялось уравнение энергии в первой форме (3.3.2):

^L = S (Xx+Yy+ Zz). (11.2.1)

S 11.4]

ДВИЖУЩИЙСЯ ЭЛЕКТРОН

209

При замене 8хг на хт основное уравнение (11.1.4) остается справедливым, так что из (11.2.1) получаем

aT „ Г • d , \ ' d , \ • d , Vl

IT = S Xх St (mx) + У 4t № + z4t (mz)| = = S {m(x2Jry2Jrz2)Jrm(x x+yy + z z')} = = S (mv2+mvv) = Sv-^(mv). (11.2.2)

Отсюда

T = S \ v-^(mv)dt = S (mv2 — j mvdv) =Smv2— T*. (11.2.3)

Определяемая этим соотношением функция T есть функция кинетической энергии. Если действующие на систему силы консервативны и обладают потенциалом V, то справедливо уравнение, аналогичное уравнению энергии:

T + V = С. (11.2.4)

В случае постоянных масс выражение для T принимает обычный вид — Smv2, что было очевидно с самого начала.

§ 11.3, -Функция Гамильтона. Составим теперь выражение для функции Гамильтона. Имеем

Рт = ^+ = Smv^- = Sm^r- (^v2), (11.3.1)

dqr dqT dqr 4 Z '

и, следовательно,

п

У\ РгЯг — L = SmqT -+- (-^ v2) — S [ mv dv -f- V = r=l dqT V2 ' •>

= Smv2 — S j mvdv + V = T+Vr (11.3.2)

Мы здесь воспользовались тем, что v2 представляет собой однородную квадратичную функцию от q. Таким образом,

H = T + V, (11.3.3)

где T следует выразить через q и р. Заметим, что H не имеет той формы, к которой мы привыкли в задачах с постоянными массами. Теперь T не является квадратичной функцией от р.

§ 11.4. Движущийся электрон. Рассмотрим движущийся в пространстве электрон. Имеем
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed