Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в поле механических и электромагнитных сил. Согласно (10.6.18)
L = тт(х2 +j> + z2) + y(AxxJ- Ауу+ A2'z)-V-eQ, (10.14.19)
где Q — скалярный потенциал, a {Ax, Ау, A2) — векторный потенциал электромагнитного поля. В обозначениях (6.10.4) имеем
р» = тх + + Ах (10.14.20)
и два аналогичных уравнения. Выражение для H имеет вид 2
H = \-m(x2+'y2+'z2) + V + eu =
¦ (Pl + Pl+Pl) - {AxPx + Ауру + AzPz) +
+ ^(а-+ау+а')+? + ^- (10.14.21)
S 10.151
ГЛАВНЫЙ ТРИЭДР
205
§ 10.15. Главный триэдр. Рассмотрим снова движение механической системы относительно подвижной системы отсчета F' (§ 10.7). Обсуждаемый здесь вопрос не затрагивался нами в § 10.7, так как это увело бы изложение далеко в сторону. Будем пользоваться обозначениями § 10.7. Обозначим через р' кажущийся импульс:
P1 = SmX, p'2 = Smy, p's = Smz, (10.15.1)
а через Ji' — кажущийся момент количеств движения:
h'1 = Sm(yz— Zf/), h'2 = Sm(zx — xz), h'3 = Sm(xy — ух). (10.15.2)
Таким образом, р' и Ji— это импульс и момент количеств движения системы, какими они представляются для наблюдателя, находящегося в системе F'.
Систему F' можно выбрать так, чтобы р' = Ji' =0. Тогда для любой системы, неподвижной относительно F', также будем иметь р' = Ji' = 0.
Для доказательства, что подвижную систему можно выбрать так, чтобы р' = Ji' =0, заметим прежде всего, что условие р' = 0 будет выполнено, если выбрать систему отсчета так, чтобы центр тяжести G находился относительно нее в покое. Проще всего взять точку G за начало подвижной системы координат. Тогда составляющая Ji1 истинного момента количеств движения Ji (в отличие от кажущегося момента количеств движения Ji') будет иметь следующий вид:
Ji1 = Sm {у (w + z — хд2 + yQt) — z(v+y — zQt + xQ3)} =
=--/г;-MO1-^e2-Ge3, (10.15.3)
где А, В, С, F, G, H — осевые и центробежные моменты инерции системы в рассматриваемый момент времени. Равенство h' = 0 поэтому возможно лишь тогда, когда
AQ1-HQ2-GQ3 = Ji1, ^ -HQ^BQ2-FQ3 = Ji2, \ (10.15.4)
— GQ1-FQ2 + CQ3 = Ji3:)
Эта система уравнений имеет единственное решение G1, 02, 93, так как определитель из коэффициентов отличен от нуля; эти коэффициенты определяют эллипсоид инерции всей системы.
Таким образом, хотя частицы системы совершают движение относительно «неподвижной» системы отсчета F, можно указать такую подвижную систему отсчета F', в которой р' и Ji' все время будут равны нулю. Эту систему назовем главным триэдром.
Если F' есть главный триэдр и начало подвижной системы отсчета выбрано в точке G, то формула (10.7.8) запишется в виде
T = Z + ±-MU*+-^Ta* (10.15.5)
и будет представлять обобщение теоремы Кёнига. Мы видим, что ? < Т. Взяв произвольную (не обязательно ньютоновскую) систему отсчета F. можно показать, что для главного триэдра значение ? меньше, чем для любой другой системы отсчета. Таким образом, главный триэдр представляет систему отсчета, в которой кажущаяся кинетическая энергия имеет наименьшее возможное значение.
Ньютоновская космология основана на концепции абсолютного пространства, евклидова по своей структуре, абсолютного времени и неподвижной в пространстве системы отсчета. Оставаясь в рамках этих понятий, можно в качестве системы отсчета
206
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
взять главный триэдр для всей материальной Вселенной. Если Вселенную считать состоящей из некоторого числа массивных удаленных звезд, взаимное расположение которых остается неизменным, и некоторого числа солнечных систем и комет, то звезды относительно главного триэдра будут находиться почти в покое, поскольку главный триэдр обеспечивает наименьшее возможное значение кинетической энергии. Таким образом, в этой системе звезды оказываются неподвижными.
Интересно теперь попробовать отказаться от ньютоновской системы отсчета как независимой гипотезы и отождествить ее с главным триэдром для всей материальной Вселенной. Если это сделать, то третий закон Ньютона окажется следствием второго закона, а не независимым утверждением. В самом деле, рассмотрим некоторую материальную систему, совершающую движение, и отнесем ее движение к триэдру, жестко связанному с главным триэдром. Тогда из условий р' = ft' = 0 получим
Считая второй закон Ньютона справедливым, приходим к выводу, что система всех действующих на частицы сил эквивалентна нулю (если бы частицы составляли твердое тело, то это тело находилось бы в равновесии). Система сил, состоящая из равных по величине и противоположно направленных сил, приложенных к каждым двум частицам (действующих вдоль прямой, их соединяющей), очевидно, эквивалентна нулю. И обратно, любую систему сил, эквивалентную нулю, можно представить в ,виде совокупности пар равных по величине и противоположно направленных сил (если только все частицы системы не расположены вдоль одной прямой, что мы исключаем). Чтобы убедиться в этом, следует сначала рассмотреть случай трех (не лежащих на одной прямой) частиц и затем провести доказательство методом индукции. Пусть имеется произвольная система как угодно движущихся частиц. Выберем главный триэдр в качестве системы отсчета. Если принять, что второй закон Ньютона справедлив, то третий (закон равенства действия и противодействия) отсюда получается как следствие *).
