Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В точке р0 (#20, #30! ¦ • ?по)> в которой функция V имеет минимум, равновесие, несомненно, устойчивое. Без потери общности можно принять, что F = Ob точке P0. Из уравнения энергии (6.8.3) тогда имеем
S + V == С, (10.3.1)
и так как S — определенно-положительная форма, то при всех t
V^C (10.3.2)
При достаточно малых значениях С это означает, что движение происходит в малой окрестности точки P0, так что равновесие в точке P0 является устойчивым.
Если точка P0 является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если ? = 0. Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру ? достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости; с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке.
Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для R, составленное с точностью до членов
второго порядка по q и q.
Чтобы пояснить основную идею, рассмотрим простой случай, когда система имеет всего две явные координаты. Перейдем к координатам, в которых S и V представляются суммами квадратов; при ? — 0 это главные координаты. Преобразование наверняка существует, поскольку ? — определенно-положительная форма. Обозначив новые координаты через х и у, напишем
R = у (*2 + Й + ? & + -1 (Xx2 + Li|/2). (10.3.3)
При этом ? и Г| нам требуется знать лишь с точностью до членов первого порядка по z и у. Линейные приближения для уравнений движения в явных координатах запишутся в виде
X — ху + Xx = 0, у + кх+цу = 0,
где
-1-(5-4)
— некоторый постоянный множитель. Решения уравнений (10.3.4) содержат множители e±pit, e±Mt, где pi и pi являются корнями квадратного уравнения
/)2 -j- X — %р %р р2+ Ll
(10.3.4) (10.3.5)
= 0
(10.3.6)
§ 10.4-]
ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ R В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
181
или
р* + (I + ц. + X2) р2 + а.ц = 0.
(10.3.7)
Условие устойчивости по первому приближению заключается в том, чтобы это квадратное относительно р2 уравнение имело вещественные отрицательные корни; для этого в сцою очередь требуется, чтобы
Яіі>0, (10.3.8)
а.+ ц. + х2>2КЖ (10.3.9)
Из неравенства (10.3.8) следует, что л. и [і должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными. Это означает, что обе степени свободы, рассматриваемые в отдельности, при ? = 0 устойчивы или обе неустойчивы в нулевой точке. Потенциальная энергия должна иметь либо минимум, либо максимум, но не седловую точку. Условие (10.3.9), очевидно, выполняется, если и л. и ja положительны. В этом случае функция V в нулевой точке имеет минимум, и, как уже отмечалось, равновесие при этом устойчиво при всех значениях ?. Условие (10.3.9) может выполняться и тогда, когда к и |х отрицательны, а именно когда
X > Y^k+ Y—v-
Из этого неравенства следует, что если обе степени свободы при ? = 0 неустойчивы, то неустойчивое положение можно превратить в устойчивое (в смысле устойчивости по первому приближению), если придать ? достаточно большое значение. Неустойчивое положение становится устойчивым, если гироскопу сообщить достаточно быстрое вращение.
§ 10.4. Явное выражение для R в общем случае. В § 10.2 мы приводили явное выражение для функции Рауса R в простом случае, когда имеется одна циклическая координата. Сейчас мы укажем способ получения явного выражения для R в общем случае натуральной системы, в которой т первых координат циклические. Предполагаемый метод несколько громоздок и потому имеет скорее теоретический, нежели практический интерес.
Как и в § 6.10, напишем
Следовательно,
дТ v
Pr =—— = 2j
9Ir я=і
¦ = 1, 2,
Qr = 2 crsPs, г= 1, 2, . . ., п,
S=I
где (crs) —матрица, обратная матрице (ars). Матрица (crs) симметрична. Далее,
m
R^T- 2 QrPr-V. г=1
Следовательно,
. . • . . .
2 (R-{-V)= —QiPi-Q2P2- ¦ ¦¦ —QmPm + Qm+lPm+l+Qm+2Pm+2 + ¦ ¦ ¦ +QnPn-
В правой части равенства qu q2, qm следует выразить через ?t, ?2, смотрим определитель с n-f-1 строками и столбцами
0H °12 ••• 0Im ! —0I, тп+1 —al,m+2 ¦¦¦ —al,n \ Pi а21 а22 ¦¦• а2>п ; —а2, т+1 —а2, т+2 ••¦ —а2, п : Р2
(10.4.1) (10.4.2)
(10.4.3)
(10.4.4) ?m- Рас-
ami
аГП2 ¦
¦ amm
' °т, т+1
°т, т+2 • •
• am, п і
Pm
0
0 .
.. 0
-1
0
0
Qm+i
0
0 .
.. 0
0
— 1
0 ]
Qm+2
0
0 .
.. 0
0
0
. —1
Qn
Pl
P2 ¦
• . Pm
Pm+i
Pm+2
Pn
-2(R + V)
(10.4.5)
182
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
который, очевидно, равен нулю. Если r-й столбец для г = m + 1, то + 2, п заме-
п
(erS X s-й столбец), то последняя строка в полученном определителе будет
п
нить на
иметь вид
Pl, Рг, ¦ ¦ -, Pm, Ят+1, Ят+2, ¦ ¦ -, Яп, —2 (Л + V)-
Приравняв определитель нулю и разложив его по элементам последней строки (заменив при этом рТ на ?r), получим явное выражение для R + V. Оно представляет собой, как
