Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
второго порядка. Устойчивость требует, чтобы как q, так и q оставались малыми. Или же можно составить систему 2п уравнений первого порядка (относительно q и q или q и р). Тогда устойчивость будет требовать лишь малости отклонений от положения равновесия. Для механической системы это требование означает малость как скоростей, так и отклонений. Если п уравнений второго порядка заменить на т = 2п уравнений первого порядка, то последние запишутся в форме (6.4.4):
xr = Xr (xi, х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., т.
Положениям равновесия соответствуют особые точки векторного поля JC, т. е. точки, где все составляющие X обращаются в нуль. Поместим начало координат в такую точку. Поскольку уравнения имеют первый порядок, последующее движение будет определяться положением изображающей точки (xi, х2, . . ., хт) в момент t = 0. Положим
г (0 = Vxl + xl+ ...+xi.
Пусть г (0) мало; спрашивается, будет ли г (t) мало при i> 0? Предположим, что функции Хг разложены в степенные ряды по хи х2, . . ., хт. Поскольку особая точка расположена в начале координат, постоянного члена не будет. Сохраняя лишь члены первой степени, получаем линейное приближение. Если определяемое линейным приближением движение устойчиво, то положение равновесия устойчиво по первому приближению.
В последнем случае естественно было бы ожидать устойчивости; однако это не всегда так. Нетрудно привести примеры, убеждающие нас в этом. Пусть, например, движение изображающей точки в плоскости ху описывается уравнениями первого порядка
X = — у + гх, у = X + гу, (9.9.9) где г = У X2 + у2. Линейное приближение
X = —у, у = X (9.9.10)
имеет решение
г = го, 6 = B0 + t, (9.9.11)
172
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
где г и 0 — полярные координаты, и в рамках этого приближения начало координат представляет, очевидно, положение устойчивого равновесия. Если, однако, учесть члены второго порядка, то получим
rr = XX + уу = г3, г = г2. (9.9.12)
Отсюда
г = 1/(а - t), (9.9.13)
где а = Hr0. Таким образом, если t —>- а, то г->- оо. Как бы ни было мало г0 > О, г непрерывно возрастает и за конечный промежуток времени достигает бесконечного значения.
С другой стороны, если линейное приближение показывает неустойчивость, то равновесие действительно неустойчиво. На первый взгляд может показаться, что переход от линейного приближения к точным уравнениям может превратить неустойчивый случай в устойчивый, однако в действительности это может случиться лишь в исключительных обстоятельствах *).
В некоторых случаях определяемое линейным приближением движение
оказывается таким, что все q я q стремятся к нулю, когда t стремится к бесконечности. В этих случаях говорят об асимптотической устойчивости по первому приближению. Асимптотическая устойчивость сохраняется и при переходе от линейного приближения к точным уравнениям: если q и q в начальный момент малы, то они стремятся к нулю, когда t стремится к бесконечно-ности.
Резюмируя, можем сказать, что если линейное приближение дает неустойчивость или асимптотическую устойчивость, то в общем случае то же самое мы будем иметь и при переходе к точным уравнениям. Что касается обычной устойчивости, то нельзя утверждать, что она всегда следует из линейного приближения. Эти вопросы мы рассмотрим подробнее в гл. XIX и XXI, где приведем доказательства сформулированных только сейчас положений.
Вернемся теперь к задаче о спящем волчке. Направим ось Ox вертикально вверх (в § 9.8 ось Ox мы направляли вертикально вниз) с целью избежать неприятностей, связанных с неопределенностью ср в положении кажущегося равновесия. Если направляющие косинусы оси волчка обозначить через (1, у, z), то линейное приближение к уравнениям движения, полученное одним из указанных в § 9.8 способов, запишется в виде
w — 2ipw — qw = 0, (9.9.14)
где w = у -f- iz. Оно отличается от уравнения (9.8.7) лишь знаком последнего члена в левой части. Если р2 < q, то решение не остается малым; если же р2 > q, то решение имеет вид
w = Ae^+*» + Ве^Р-М, (9.9.15)
где s = Vp2 — q, а коэффициенты А, В могут быть комплексными. Если
р2>ди|и>|и|ц;|в начальный момент малы, то эти величины остаются малыми во все время движения, что следует из ранее известного факта устойчивости (существование знакоопределенного интеграла (9.9.8)).
Чтобы проиллюстрировать движение, описываемое уравнением (9.9.14), рассмотрим снова задачу § 8.9. Пусть в начальный момент точка P оси волчка
движется горизонтально, так что можно принять, что w = а ш w = ikd при t = 0; параметры auk будем считать вещественными и положительными.
*) Исключительный случай такого рода приводится в примере 19.11С. (В этом примере характеристическое уравнение системы двух уравнений линейного приближения имеет двойной нулевой корень.— Прим. перев.)
§ У.9]
СПЯЩИЙ волчок
173
Возьмем (как в § 8.9) такой интервал значений к, чтобы ось волчка поднималась из начального положения; тогда траектория точки P будет лежать внутри окружности г = а. Ранее, в § 8.9, мы рассматривали эту задачу, основываясь на точных уравнениях, но решение носило в основном описательный характер; сейчас мы используем приближенные уравнения, справедливые только для малых значений | w |, но решение этих уравнений будет точным.
