Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
С переходом от простого случая линейных колебаний к вынужденным колебаниям системы, описываемым нелинейными уравнениями, задача сильно усложняется. В § 23.10 мы рассмотрим одну из таких задач.
*) По вопросу о правомерности такой трактовки вынужденных колебаний ,см. Л. И. Мандельштам, Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов, т. IV, Изд-во АН СССР, 1955. (Прим. перев.)
Глава X
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 10.1. Исключение координат. Рассмотрим голономную систему с п степенями свободы, описываемую п лагранжевыми координатами qu q2, ... . . ., qn, функция Лагранжа L которой не содержит t. Остановимся более подробно на случае, когда некоторые из координат системы являются циклическими (§ 6.11).
Пусть qt, q2, ¦ ¦ ., qm (0 < т < п) —циклические координаты. Поскольку они не входят в функцию Лагранжа, первые т уравнений Лагранжа дают циклические интегралы
-^ = ?„ r = l,2, ...,ш. (10.1.1)
dqr
Постоянные ?r здесь определяются начальными условиями. Из уравнений (10.1.Ї), линейных относительно Q1, q2, . . ., qn, можно выразить q1: q2, ... . . ., qm как линейные функции от ?b ?2, . . ., ?m, qm+i, qm+2, • • -,qn-
m • • •
gr = }pr фІ7 ?2, . . ., ?m, qm+il Qm+2i • • • і Ч.П1 Qm+li Qm+2i • • •) Qn)j г = 1, 2» . .., т.
(10.1.2)
Подставляя теперь qu q2, qm из (10.1.2) в функцию
m m
L-2?r4=i-2?*, (10.1.3)
r=i 9Vr r=l
получаем функцию R:
R = R (qm+i, ¦¦¦,Qn; qm+i,qm+2, •¦-,qn, ?i, ?2. .-.,?m). (10.1.4)
Функцию R называют функцией Рауса; она образуется из функции (10.1.3) путем замены в ней т первых q на ?.
Если первоначальная система натуральная, так что
п п
T = T2 = Y 2 S ^sQWs,
Г= 1 1
то уравнения (10.1.2) принимают вид
пг п
qr=--^drs$s- S drsq3, г= 1,2, ...,m, (10.1.5)
S= 1 s=m+1
где коэффициенты d„ для s<?ra выражаются так же, как в формуле (9.6.7), а для s>m равны
т
dys ~ dri&is-
i=l
Функцию Рауса можно записать в виде
R = T'-V = T'2+T'1 + T'0-V; (10.1.6)
§ 10.1]
ИСКЛЮЧЕНИЕ КООРДИНАТ
177
здесь T3 — однородная форма степени s от qm+i, qm+2, ¦ ¦ дп, коэффициенты которой представляют собой степени (2 — s) от ?b ?2, . . ., ?m. Квадратичная форма T2 не является, конечно, первоначальной функцией кинетической энергии; тем не менее она по-прежнему представляет определенно-положительную форму, так как, когда все ? равны нулю, она принимает значение кинетической энергии.
Докажем, что R играет роль функции Лагранжа для механической системы с координатами qm+i, qm + 2, ¦ ¦ •> qn (так называемые явные координаты). Мы свели, таким образом, первоначальную задачу к задаче для системы с п—т степенями свободы; процесс такого сведения называют исключением координат. Циклические координаты появляются обычно в системах, [включающих гироскопы; поэтому системы, содержащие циклические коордипаты, иногда называют гироскопическими системами *) (§ 9.6).
Заметим, что вовсе не обязательно исключать все циклические координаты. Ясно, что координаты ^1, q2, . . ., qm должны быть циклическими, но среди остальных координат qm+i, qm+2, ¦ ¦ • > Чп также могут быть циклические. Например, в известной задаче о спящем волчке движение оси удобно изучать, применяя процесс исключения лишь к одной координате^, так что функция Лагранжа будет содержать координаты 0 и <р. Подобная процедура в ряде случаев оказывается полезной, несмотря на то что координата ср тоже является циклической, если ось Oz вертикальна.
Покажем теперь, что функция R может применяться в качестве функции Лагранжа с координатами qm+i, qm+2, ¦ ¦ -, qn- Составим полную вариацию функции R (варьируя также и постоянные ?b ?2, . . ., ?m, но не варьируя время t); тогда будем иметь
п п
бД= 2 ^^+2^^-2^б^-2л=
г=т+1 Т r=l 9Qr r=i dqr г=1
; 2 +^4)-2 и»- (10-1-7)
r=m+l Т 9Ir r=i
Отсюда находим
dR OL dR OL , . , _ . оч
"^7 = -^7' 7^ = 7^' r = m+i, m+2, п, (10.1.8)
и
dqr dqr
dR d?r '
r = l,2,...,m. (10.1.9)
С помощью уравнений движения Лагранжа для qm+i, Qm+2, • • • > Чп из (10.1.8) получаем
d і OR \ dR
d I dR \ dt \~Z~I
dqr '
r = m+l, m+2, n, (10.1.10)
что и требовалось доказать.
Обычно нас не очень интересуют значения циклических координат q±, q2, ¦ ¦ ¦, qm в момент t, но если решение уравнений (10.1.10) получено, то значения qt, q2, . . ., qmB момент t могут быть найдены из (10.1.9).
*) Более подробно гироскопические системы рассмотрены Томсоном и Тэтом [22]. Функция Рауса была впервые введена Раусом в его работе «The Stability of Motion», London, 1877.
12 л. А. Паро
178
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
§ 10.2. Исключение одной координаты. Рассмотрим натуральную систему, для которой
п п
Г = -т2 2а"<м- (10.2.1)
Г= 1 S= 1
Пусть координата будет циклической. Нас будет интересовать вид функции Рауса при исключении циклической координаты qt. Процесс можно упростить, если заметить, что
