Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
V' = V+M(B-f) — у/со2
и It есть вектор {х, у, z). Через V здесь обозначена потенциальная функция кажущегося гравитационного поля. В первом приближении V =-gz, где g — ускорение силы тяжести по измерениям наблюдателя, связанного с подвижной системой отсчета F'. Для задачи о маятнике Фуко, где масштаб движения вообще мал, а для вертикального движения в особенности, приближение V = gz является достаточно точным. Напомним, что со весьма мала (приблизительно 7,27•1O-6 сек~г).
§ 10.9. Маятник Фуко *). Опыт с маятником Фуко, при котором производится наблюдение за поворотом плоскости качания простого маятника относительно Земли, служит подтверждением ее вращения. Подвесим небольшой груз к неподвижной точке на легкой нити длиной I. Выбрав начало координат в положении равновесия, можем с достаточной степенью точности написать
V = gz = 4-(X* +у*). (10.9.1)
*) Более точное исследование движения маятника Фуко см. в статье: Т. J. ГА. В г о m w і с h, Proc. L.M.S., 2, vol 13, стр. 224—235.
§ 10.9]
МАЯТНИК ФУКО
191
Отбрасывая в функции Лагранжа члены порядка z2, coz, coz, получаем для нее следующее приближенное выражение:
L = т (х2 + г/2) + р (ху — ух) — т тг2 (а;2 + г/2),
(10.9.2)
где р = со sin 9, тг2 = g/Z. Заметим, что совсем не обязательно придерживаться первоначальных направлений осей х и у; их можно повернуть на нужный t угол около оси Oz, не изменяя формы функции L.
Уравнения движения имеют вид
-п2х = 0, "J -п2у = 0. J
(10.9.3)
Положив нением
х— 2ру-\- і у + 2рх-
w = x-\-iy, заменим их одним урав-
= 0.
(10.9.4)
Рис. 34.
W-]- 2ipw + Ti2W -¦
Уравнение(10.9.4) аналогично уравнению(9.8.7), описывающему движение оси гироскопа Фуко (§ 9.8), и отличается от него лишь знаком коэффициента при w. Подобное уравнение встречалось нам также в § 10.6. Рассмотрим движение маятника из состояния покоя: при t = 0 w = а и u? = 0, где а вещественно и положительно. Решение имеет вид
(10.9.5)
где
где
w = Yf {(s + р) е*('-Р)' +• (s—р) e-i("+p)*},
s2 = п2 + P2. (10.9.6)
Траектория маятника (рис. 34) представляет собой гипоциклоиду w = (а — b) ет + be-Ka-W, (10.9.7)
2s
2s
a, Q = — t. ' а
1
(10.9.8)
Поскольку р мало, а Ъ лишь немного меньше -у а, последовательные дуги
гипоциклоиды близки к прямым. Время полного периода качания («туда и обратно») равно 2nls; оно лишь немного меньше, чем время 2л/тг, соответствующее случаю, когда отсутствует вращение. Значение w в момент 2nls равно (см. (10.9.5)) ае-*(2яр/8)5 Так что плоскость качания поворачивается за это время в отрицательном направлении на угол 2npls. Таким образом, эта плоскость вращается по ходу часовой стрелки со средней угловой скоростью р. Решение (10.9.5) можно переписать в форме
где
»a cos st+ і — а sin st,
(10.9.9)
(10.9.10)
так что траекторией точки ? является вытянутый эллипс, большая полуось которого равна а, а малая равна (p/s)a и, стало быть, мала по сравнению с а. Можно сказать, что точка w описывает вращающийся эллипс. Но это описание «вряд ли выражает весьма простую идею о гипоциклоиде».
192
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
§ 10.10. Движение снаряда. В задаче о маятнике Фуко мы считали V = gz, поскольку изменение координаты z было мало. Этим выражением для V можно пользоваться в некоторых случаях и тогда, когда движение имеет больший масштаб, например при изучений движения снаряда. Однако в этом случае это приближение будет более грубым. Для более точного расчета произведем сравнительную оценку членов, которыми мы пренебрегли в первом приближении, и найдем те из них, которые играют существенную роль. Как и ранее, Землю будем считать шаром, скорость вращения ее — постоянной и центр ее — неподвижным. Мы уже указывали, что со мало (около 7,27•1O-5Ce«"1). Имеем (§ 10.7)
L = Z+(&.ri') — V', (10.10.1)
где
V' = V + {R-f)-
/со2.
(10.10.2)
Рис. 35.
Массу снаряда мы для удобства приняли равной единице. Пользуясь обозначениями рис. 35, направляя ось Oz' вдоль радиуса Земли и обозначая расстояние тела от центра Земли С через г, а расстояние его от точки О через р = [ R |, можем написать
г а \ ' а ' a* J
Члены — V — (It-f) вносят, таким образом, в функцию L следующее выражение:
йсо2 (х' sin X + z' cos X)-G {z'_-^(3z'2-pa)+-^'(5z'8-3pV)} = = { _ (G — ко2 cos X) z' + Ъа>2 sin X x'} + -^- (3z'2 — p2) —
--Jr(5z'3-3pV), (10.10.4)
где b = acosX, G = \x/a%. Членами порядка GpVa3 мы пренебрегли.
Линейные члены в выражении (10.10.4) равны, очевидно, — gz (ось Oz, как и ранее, выбрана, вдоль линии отвеса). Кроме того,
. а 6С02 SiH X
G—6(о2 cos X' G = g cos ? + feco2 cos X = g (1 + є),
где
є = (atiPlg) cos2 X-(I- cos ?) = ctg X sin ? — 1 + cos ?, поскольку
sin ? = (auPIg) cos X sin X.
(10.10.5) (10.10.6) (10.10.7) (10.10.8)
Таким образом, приближенное (с точностью до членов порядка ?) значение є равно
є = ? ctg X, (10.10.9)
и, стало быть, ? и є, как функции от со, имеют один и тот же порядок малости. Связь между малыми величинами Ьш3 и ? иллюстрируется на рис. 35.
