Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (9.9.14), удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
ю=^{(р+8 — к) ei (p-S) * +
+(* — p-+s)ei(p+s) (9.9.16)
Траекторией точки P служит эпитрохоида. Рис- 27 •
Если диск радиуса ? катится по неподвижной окружности радиуса а (рис. 27), то точка P диска, отстоящая от его центра на расстоянии у, описывает кривую, определяемую уравнением
Если положить
W = (а + ?) ет + уЄі(а+Р)Ф.
p + s — к ^ й_р — sw _ к— p + s
p+s
¦а, ? =
2s
¦а, у =
2s
а,
(9.9.17) (9.9.18)
то оно совпадет с уравнением (9.9.16). Переменные t и ср связаны между собой соотношением
Ф _ 2s(p-f-s) 1
t p+s — к а
(9.9.19)
Следуя тому же порядку изложения, что и в § 8.9, рассмотрим различные видоизменения движения, связанные с изменением к от р — s до р + S. Имеем четыре критических случая; обозначим их (как в § 9.8) через А, В, CkD:
А) к = р — s; В) к = р — {s2/p); С) к = р; D) к = р + s.
В случае А движение представляет собой медленную прецессию по окружности г = а. Между А и В мы имеем либрацию, ограниченную окружностями
Рис. 28. Рис. 29.
г = а и г = {(р — к)Is) а (рис. 28). В случае В траекторией служит эпициклоида с точками заострения на окружности г = (sip) а (рис. 29). Между В и С траектория представляет собой кривую с петлями, заключенную между
174
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
окружностями г = а и г = {(р — k)ls) а (рис. 30). В случае С мы имеем кривую г = а cos (s/p) 0, проходящую через точку О (рис. 31). Между CuD мы
вновь имеем либрацию, ограниченную двумя окружностями (рис. 32), и, наконец, в случае D мы имеем быструю прецессию по окружности г = а-.
Сюда относятся и две частные задачи, касающиеся гироскопа Фуко: 1) когда ось проходит через вертикаль и 2) когда ось начинает движение из состояния покоя, находясь в наклонном положении. Обе эти задачи охватываются описанной выше классификацией: первая относится к случаю С, вторая — к случаю В. Читателю, возможно, будет интересно получить решения независимо, как это сделано в § 9.8 для гироскопа Фуко.
Рис. 32.
ная sin pt.
§ 9.10. Вынужденные колебания. В §§ 9.1—9.3
мы изучали свободные колебания около положения устойчивого равновесия. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания, возникающие тогда, когда на систему действуют силы, периодически изменяющиеся с течением времени.
Рассмотрим гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила, пропорциональ-Уравнение движения такого осциллятора запишется в форме
п2х = с sin pt.
(9.10.1)
Если р Ф п, то решение этого уравнения имеет вид
х== пг!р2 smpt+acoant+^- [и— д2^а ) sinnt. (9.10.2)
Здесь через а и и обозначены соответственно значения х и х при t = 0. Первый член решения выражает вынужденное колебание с периодом 2я/р, а остальные члены — свободные колебания с периодом 2я/п. Если р имеет значение, близкое к п, то явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний становится большой по сравнению с амплитудой с внешней силы, называется резонансом. Иногда этот термин употребляют лишь в том случае, когда р точно равняется п. В последнем случае (р = п) решение имеет вид,
X= ——— t cos nt + a cos nt + — + sinnt (9.10.3)
§ 9.10]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
175
и вынужденное колебание — Jn^ cos пі можно трактовать как синусоидальное колебание с периодом 2я/ге и амплитудой, непрерывно возрастающей вместе с t *).
Практически, однако, уравнение (9.10.1) всегда является приближенным, справедливым лишь для малых значений х, и найденное нами решение нельзя считать достоверным в случае резонанса, когда амплитуда вынужденных колебаний велика. Это обстоятельство особенно следует иметь в виду ,тогда, когда рассматривается резонанс при р = п, поскольку в этом случае- амплитуда возрастает со временем неограниченно.
Кроме того, на системы практически всегда действуют какие-либо силы трения. Влияние трения проявляется в том, что свободные колебания в конце концов затухают и остаются только вынужденные колебания. Рассмотрим гармонический осциллятор, на который кроме внешней периодической силы действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости. Уравнение движения будет иметь вид
X + 2кх п2х = с sin pt. (9.10.4)
При этом предполагается, что 0 < к < п. Свободные колебания будут описываться членами вида е~м cos \it и е~ы sin \it, где ц = "^n2 — к2. Их можно трактовать как синусоидальные колебания с периодом 2n/\i и амплитудой, пропорциональной множителю е~м и потому быстро стремящейся к нулю. Свободные колебания скоро становятся пренебрежимо малыми («затухают»), и остаются вынужденные колебания с периодом 2л/р, описываемые уравнением
х =-^-sin (pt —а), (9.10.5)
где R cos а = п2 — р2, R sin а = 2рк. Даже тогда, когда в задачах на колебание трение не входит явно в уравнения движения, важно найти и изучить периодические решения, имеющие период дополнительной силы. Это связано с тем, что даже при самом ничтожном трении свободные колебания в конце концов становятся пренебрежимо малыми.
