Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где •
. її тЕс1
S 10.7] ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 187
и 0 = kt S= (eylmc) t. Циклоида имеет точки заострения на оси Oy; наибольшее расстояние от этой оси во время движения равно
2к = 2тЕс2/гу2. (10.6.28)
§ 10.7. Движение относительно подвижной системы отсчета. В случае натуральной системы соотношения, связывающие х и q, не содержат явно t (через х, как обычно, обозначены координаты частиц относительно неподвижного прямоугольного триэдра, т. е. триэдра, жестко связанного с ньютоновой системой отсчета). Рассмотрим теперь более подробно некоторые задачи, в которых соотношения между x\iq содержат t. Это будет иметь место при простом и естественном выборе лагранжевых координат, если на некоторую часть системы наложено движение или если используются подвижные оси, причем выбор координат q произведен так, что координаты х' частиц относительно подвижных осей являются функциями одних только q. Примером может служить случай, когда подвижные оси связаны с твердым телом, совершающим заданное движение.
Рассмотрим движение относительно системы отсчета F' движение которой относительно неподвижной системы F (ньютоновой системы) задано. Системой отсчета F' служит триэдр, неизменно связанный с твердым телом, совершающим заданное движение относительно системы F. Один простой случай подобного рода уже был рассмотрен нами в § 6.7.
Пусть {и, и, w} определяют вектор скорости начала О' подвижного триэдра, a {O11O2, ©з} — вектор угловой скорости этого триэдра относительно неподвижной системы F; составляющие указаны вдоль мгновенных положений подвижных осей. Тогда
2Т = Sm{(u + 'х-yQ3 + ZQ2)2 + ... + . . .}. (10.7.1)
Для удобства мы здесь опустили штрихи в обозначениях координат относительно подвижных осей. Таким образом,
2Т = Sm (х2 + у2 + z2) + Sm (и2 + и2 + ш2) +
+ Sm {(г/93 - z02)2+ ... + . . .} + 2Sm {и (х - yQ3 + zQ2) +
+ . . . + . . .} + 2Sm {х(-уВ3 + ZQ2)+ ... + ...}. (10.7.2)
Здесь и, V, w, ©і, 92, 0з представляют известные функции от t. Выражению (10.7.2) можно придать более удобную форму. С этой целью рассмотрим подробнее отдельные члены, входящие в эту формулу. Член
Sm (х2 + у2 + z2), (10.7.3)
который мы обозначим через 2?, равен удвоенной кажущейся кинетической энергии движения относительно системы отсчета F', иными словами, ? — это кинетическая энергия системы, как ее оценил бы наблюдатель, движущийся вместе с системой F' и потому считающий ее неподвижной. В выражении
Sm (и2 + V2 + w2) = M (и2 + V2 + и>2) = MU2 (10.7.4)
через M — Sm обозначена полная масса системы, а через U = | U \ — скорость точки О'. Член
Sm {(г/0з - z02)2 + (z9t - xQ3)2+ (xQ2 - yQJ2 } (10.7.5)
равен /со2, где со — угловая скорость (G1, 02, 9з) системы отсчета F', со = = I со I, а / — момент инерции всей системы в рассматриваемый момент времени относительно оси, проходящей через точку О' в направлении со.
188
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
В выражении Sm{u(x-yQ3 + zQ2) + ... + ...} =
= [uSmx + (vQ3 — wQ2)Smx] + ... + ... = M [и?+ (vQ3 — wQ2) g] + ... + .. .. =
= M^r(ul+vr\ + wt)-M{I (u- vQ3 + wB2) + V(V-WQ1 + uQ3) +
+ l(w-uQ2 + VQ1)) = M(R-U) —M(R•/) (10.7.6)
R= t), ?} обозначает радиус-вектор центра масс G системы, U— скорость точки О' (т. е. вектор {и, V, w}) и / — ускорение точки О'. Все векторы R, U, /' измеряются относительно неподвижного триэдра, совпадающего с мгновенным положением подвижного триэдра. В выражении
am{x( — yQ3 + zQ2) + ... + .. .) = Q1Sm(^z-Zy)+ ...+ ...=
= O1TiI + 92ті; + бз-п'з - («> • т)') (10.7.7)
T)' = {t]j, rig, rig} представляет вектор кажущегося момента количеств движения, т. е. момента количеств движения, как его оценил бы наблюдатель, связанный с системой отсчета F' и потому считающий ее неподвижной. Таким образом, можем написать
T = ? + YMU* + YI(D* + M-ft (R.U)-M(R-f) + (CO-H'). (10.7.8)
1 d
При составлении функции Лагранжа член у MU2, а также член M-(R-U),
имеющий форму (6.8.6), можно опустить; тогда окончательно будем иметь
L = ? + ((o-r\')-V (10.7.9)
и
V = V + M (R-f)-IЫ2, (10.7.10)
где V — функция потенциальной энергии. В наиболее интересном для нас случае функция V зависит от положения системы относительно подвижной системы отсчета F'.
Введем лагранжевы координаты qt, q2, . . ., qn, где п — число степеней свободы голономной системы в ее движении относительно системы F'; переменные q таковы, что соотношения между х и q не содержат t. В этом случае ? оказывается определенно-положительной квадратичной формой переменных q, а выражение (со •Tj') — однородной линейной формой переменных q; коэффициенты этой линейной формы в общем случае зависят как от t, так и от q.
Теперь можно установить влияние движения подвижной системы отсчета на движение механической системы, каким оно представляется наблюдателю, связанному с ней и потому считающему ее неподвижной. Это влияние заключается в следующем:
a) в центре масс G системы действует сила, равная —Mf;
