Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г = a sin XQ1 (9.8.12)
где X = s/p > 1. Траектория изображена на рис. 25, она построена для случая, когда скорость вращения мала и X, следовательно, велико. Если
Рис. 25. Рис. 26.
скорость вращения велика и X лишь немного превышает единицу, то форма траектории близка к окружности.
2) V0 = О, W0 = а, причем а вещественно и положительно; ось волчка начинает движение из состояния покоя вблизи вертикали.
Решение имеет вид
W =-^-{(s-p) е* (»+р) (s+ р) е-1 (»-р) <}, (9.8.13)
и траектория представляет собой гипоциклоиду. Такую кривую описывает точка окружности радиуса Ь, Ъ < у а, катящаяся внутри окружности радиуса а (рис. 26). В обозначениях, указанных на рисунке, можем написать
w = (а — Ъ) е~м + Ьеі («-« е. (9.8.14)
Если положить здесь
b = S-^a, Q = ^t, (9.8.15)
то мы получим формулу (9.8.13).
§ 9.9. Спящий волчок. Если волчок находится в покое в положении, когда ось его вертикальна, а центр тяжести расположен выше точки подвеса, то равновесие его не будет устойчивым. Но, как хорошо известно, если привести волчок в быстрое вращение, то вертикальное положение его станет устойчивым. Более точно, достаточным условием устойчивости будет р2 > q. Если это условие выполняется и если начальное смещение оси от вертикали и начальная угловая скорость малы, то они будут малыми в течение всего времени движения. В этом случае (когда р2 > q) линейная аппроксимация служит хорошим приближением к действительному движению в окрестности положения равновесия.
Из опыта известно, что вертикальное положение спящего волчка устойчиво, если скорость вращения достаточно велика. Формальное доказатель-
170
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[ГЛ. IX
ство устойчивости можно провести с помощью метода, аналогичного тому, которым мы пользовались при получении интеграла энергии в теории малых колебаний (§ 9.1). Если через х, у, z обозначить направляющие косинусы оси волчка и ось Ox направить вертикально вверх, то интегралы энергии и кинетического момента относительно оси Ox запишутся в форме (см. § 8.7)
у & + у2+ z2)+^ = const, (9.9.1)
yz — zy + 2рх = const. (9.9.2)
Но
X2 + у2 + z2 = 1. (9.9.3)
Положим X = 1 + E и будем отсчет' производить от положения равновесия; тогда у, Zb окрестности положения равновесия будут малы. Интегралы {9.9.I) и (9.9.2) теперь примут вид
±-&+'y*l+z2) + g| = const, (9.9.4)
yz — zy + 2p\ = const. (9.9.5)
Кроме того,
I2+ у2+ z2+ 21 = 0. (9.9.6)
Теперь можно образовать интеграл, имеющий вид определенно-положительной квадратичной формы от переменных |, у, z, |, у, z. Из соотношений {9.9.4) и (9.9.5) получаем новый интеграл
1 (І2 + у2+ z2) + ql - р (yz - zy + 2pl) = С, (9.9.7)
который в силу (9.9.6) эквивалентен следующему:
yі2 + у (у + p*)2 + y <* - ру? + y № - + у (^2 - (у2 +z2) = с- (9-9-8)
Если |, у, z, §, у, z в начальный момент малы, то постоянная С тоже мала. Если р2 > q, то левая часть равенства (9.9.8) является определенно-положительной квадратичной формой. Отсюда следует (см. § 9.1), что у, z, |,
у, z остаются малыми в течение всего времени движения. Можно указать границы изменения переменных, например:
L(2p2-q)l2<C, у (р2 — q) (у2 + z2) < С
Таким образом, устойчивость заведомо доказана; поэтому, если начальное возмущение мало, линейная аппроксимация дает достаточно хорошее приближение к движению (по крайней мере, для не слишком большого промежутка времени).
Существует и другой подход к рассматриваемой задаче. Мы остановимся на нем, так как он типичен для многих задач и сыграл важную роль в истории динамики.
Пусть известно положение равновесия механической системы. Выберем лагранжевы координаты qr так, чтобы они в этом положении равнялись нулю. (Или q могут обозначать, как здесь, явные координаты в гироскопической системе; имеется положение кажущегося равновесия, и q выбираются так, чтобы в этом положении они равнялись нулю.) Требуется определить, является ли положение равновесия Q = O устойчивым; иными словами, если
§ 9.9]
СПЯЩИЙ ВОЛЧОК
171
q и q в момент t = 0 малы, то будут ли они малыми в течение всего времени движения? Чтобы получить ответ на этот вопрос, составляют приближенные линейные уравнения движения. Если мы имеем независимое доказательство, что отклонение должно оставаться малым, как, например, в данной задаче или в задаче о малых колебаниях около положения, соответствующего минимуму потенциальной энергии, то линейная аппроксимация служит достаточно хорошим приближением к возмущенному движению. Если, однако, мы не имеем такого независимого доказательства, то следует проявлять осторожность. Если линейное приближение показывает устойчивость (т. е.
при малости начальных значений q и q остаются малыми в течение всего времени движения), то говорят, что положение равновесия устойчиво по первому приближению. Трудность заключается в том, что устойчивость по первому приближению еще не означает, что мы получим устойчивость, когда от линейного приближения перейдем к точным уравнениям.
Для исследования вопроса об устойчивости положения равновесия введем п лагранжевых координат qu q2, ¦ ¦ ., qn, определяющих отклонение от этого положения (см. § 9.1), и составим п дифференциальных уравнений
