Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
b) «кажущаяся» потенциальная энергия отличается от V на величину
--2~1<й2, вследствие чего появляются центробежные силы;
c) возникают силы, обусловленные членом (со •Tj') в выражении для L; если t не входит в этот член, то они представляют собой гироскопические силы.
§ 10.8] ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЗАДАННОЙ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 189
*) Этот принцип общепринято называть принципом Галилея. (Прим. ред.)
Отметим некоторые частные случаи.
1) Если O)=O и/ = 0, то движение подвижной системы отсчета не сказывается вовсе на уравнениях движения. Это явление хорошо известно. Система отсчета, движущаяся равномерно, прямолинейно и поступательно относительно ньютоновой системы, сама является ньютоновой. Это утверждение часто называют ньютоновым принципом относительности *).
2) Если (о=0, то движение подвижной системы отсчета проявляется только в том, что возникает однородное поле ускорений — /, которое дает силу —Mf, приложенную в центре масс G. Отсюда, в частности, получается известная теорема о движении твердого тела: если одна точка твердого тела совершает заданное движение, то движение тела относительно этой точки происходит таким образом, как если бы эта точка была неподвижна и кроме других сил на центр масс тела действовала бы еще сила —Mf.
3) Если/ =0, то движение подвижной системы отсчета сказывается в том, что появляются центробежные и гироскопические силы. Частный случай, когда вектор со остается постоянным, уже рассматривался нами (§ 6.7). Гироскопических сил не возникает, если (to•Tj') является полной производной
f (q; t) это; всегда имеет место, если число степеней свободы равно единице.
Эти силы отсутствуют также и в том случае, когда вектор г\ во все время движения перпендикулярен к со. В этих случаях влияние вращения системы отсчета сводится лишь к появлению центробежных сил.
4) Теорема Кориолиса. Если система состоит только из одной частицы, массу которой для удобства примем равной единице, то можно написать
T = \ (i2 + у* + 22) + {O1 (yz - zy) + O2 (zx - x'z) + Э3 (ху - ух)} -
- (ах +P^ + 7z) + I {(ув3 -z02)2 + (z01 _.г03)2 + (х% - увЛ»-}, (10.7.11)
где через ос, ?, у обозначены составляющие вектора /. Составляющая вектора ускорения по оси X равна
4 ("J) - = х-2 0/6з-ZQ2) + Фі, (10.7.12)
где
Cp1 = а — г/03 + z8a — .reo2 + O1 (г • со). (10.7.13)
Здесь Cp1 представляет собой ^-составляющую ускорения точки, фиксированной в подвижной системе осей. Таким образом, мы приходим к следующему результату: ускорение движущейся частицы равно векторной сумме трех слагаемых: 1) ускорения той точки подвижного пространства, где находится
в данный момент частица, 2) ускорения г относительно подвижных осей,
3) гироскопического члена —2r X со.
В этом заключается теорема Кориолиса. Особо важное значение имеет гироскопический член; он не имеет аналога в соответствующей теореме, относящейся к скорости движущейся частицы. Теорему Кориолиса мы получили как частный случай общей теории движения в подвижной системе отсчета; но ее, разумеется, можно получить без особого труда и непосредственно, не обращаясь к общей теории.
§ 10.8. Движение частицы вблизи заданной точки на поверхности Земли.
С самого начала заметим, что внешнее однородное поле не влияет на движение частицы относительно Земли, поскольку оно действует как на частицу,
190
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Гл. X
так и на Землю с силами одного направления (хотя это направление может меняться с течением времени) и пропорциональными массам. Поэтому, сохраняя высокую степень точности, можно пренебречь гравитационным эффектом удаленных масс. Кроме того, мы будем пренебрегать влиянием
небольшого отклонения формы Земли от сферической и примем, что распределение плотности вещества Земли характеризуется сферической симметрией, так что внешнее гравитационное поле будет таким же, как у точечной массы, находящейся в ее центре. При изучении относительного движения центр Земли С можно считать находящимся в покое.
Обозначим широту заданной точки О на поверхности Земли через X. Ось Oz можно было бы направить вдоль радиуса Земли, ось Ox — на югт а ось Oy — на восток. Однако удобнее повернуть систему немного около оси Oy, направив Oz вверх вдоль линии отвеса, т. е. по линии кажущейся силы тяжести. Тогда ось Oz будет располагаться в меридиональной плоскости и будет составлять с нормалью к оси Земли угол 9 = 1K + ?, где ? — небольшой угол отклонения линии отвеса от истинной вертикали. Для Лондона, расположенного на широте 1K = 51°30', угол ? составляет всего 6'. Плоскость z = 0, строго говоря, не является горизонтальной (т. е. касательной плоскостью к сфере), но для точек, близких к точке О, отклонение весьма мало (рис. 33).
Если скорость вращения Земли обозначить через со и считать постоянной, то моншо написать
Z = ? + (<».V)-F'. (10.8.1)
Положив массу частицы равной единице, перепишем это выражение в следующей форме:
^ ¦ • • • •
Z = y (ж2 + У2 + s2) — со cos 9 (yz — zy) + со sin 9 (xy — yx) — V, где со = I Ol I,
