Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Pi=S%s?s (10.2.2)
S=I
и, следовательно,
2апТ—р\ = 2ап8, (10.2.3)
где S— однородная квадратичная форма п — 1 переменных q2, q3, qn:
n n
r=2 s=2
и
brs = ars-^-. (10.2.5) Циклический интеграл имеет вид
P1 = P- (10.2.6)
Имеем
T - ?j, - V = S + J- ?* - J- (? - al2q2 - al3q3 - ... - ainqn) - V. (10.2:7)
Отсюда находим функцию Рауса:
Д = 5 +(а^ + аіз?з+ ...+alnqn)-(v + ^-). (10.2.8)
Как отмечалось (§ 10.1), S представляет собой определенно-положительную форму.
Исходная система представляла натуральную систему с п степенями свободы. После исключения циклической координаты мы получили систему с/г — 1 степенями свободы, но уже не натуральную, содержащую линейные члены:
Т[ = -~ (al2q2 + al3q3 + ... + ainqn) • "и
Особый интерес представляет часто встречающийся в практике случай, когда величина ац постоянна (и, разумеется, положительна). Тогда функция Рауса (10.2.8) для исследования движения в явных координатах q2, q3, ... . . . , qn имеет вид
R =s S + со (a12q2 + «ізїз + • - • + а-тЯп) — V. (10.2.9)
Здесь (Z11CO написано вместо ?. Допустим теперь, что постоянная Ci11 велика по сравнению с другими (переменными) коэффициентами aTs. Тогда скорость
<7i будет почти постоянна и равна со, а коэффициенты brs в силу (10.2.5) будут почти равны соответствующим коэффициентам aTs. Поэтому, если ац — большая положительная постоянная, то функция Рауса (10.2.9) почти равна (с точностью до постоянных членов) исходной функции Лагранжа, если в ней
qi заменить на постоянную величину со.
§ 10.3]
ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ устойчивость
179
Линейные члены в выражении для функции Лагранжа могут появиться либо при составлении функции Рауса, либо тогда, когда на систему наложено движение с заданной
постоянной скоростью 5j = to. В рассмотренном выше случае, когда O11 постоянно и велико, эти две, казалось бы, несвязанные причины приводят к одному и тому же результату, а именно к одной и той же функции Лагранжа для изучения движения в явных координатах.
Рассмотрим в качестве примера систему, связанную с массивным телом, способным вращаться около некоторой оси. Пусть Ox'y'z' будет системой координат, связанной с вращающимся телом, причем за ось Oz' выберем ось вращения. Поступая так же, как мы поступали при составлении выражения (6.7.7) для кинетической энергии, несмотря на то, что здесь угловая скорость переменна, тогда как там она была постоянна, находим
L= ? + 0^+^/02+у C02-F, (10.2.10)
где % — кинетическая энергия относительного движения относительно вращающегося
тела), г| = Sm (х'у' — у'х') — кинетический момент относительно оси Oz' в относительном движении, /— (переменный) момент инерции системы относительно оси Oz', а С — момент инерции вращающегося тела относительно оси Oz'. Система имеет п степеней свободы и описывается п координатами: координатой Вив — 1 лагранжевыми координатами <?2, ?з, • • 9п5 определяющими положение системы относительно вращающегося тела. Если соотношения, связывающие х и q, не содержат t, то % есть однородная квадратичная
форма от переменных q2, q3, . . ., qn, а г| — линейная форма от этих же переменных. Координата 6 является циклической,
-^ = r\+(I+C)Q, (10.2.11)
39
и дЬ/30 имеет постоянное значение; обозначим его через C(o. Тогда функция Рауса будет иметь вид
R = L-CwQ = Z-Y (/+C)02_F = ?__L_.(Ca)-ri)2-F. (10.2.12)
Это точное выражение для R. Предположим теперь, что С очень велико, и произведем разложение в ряд по степеням 1/С; отбросив члены порядка HC и выше, получим
Д = ?+сог|+у/со2--і-Са>2_Г. (10.2.13)
Это выражение отличается лишь на постоянную от функции Лагранжа (10.2.10), в которой 0 заменено на со.
Уравнение энергии (6.8.3), полученное из функции Рауса (10.2.13), будет иметь вид
1
24-у/0)2= const. (10.2.14)
Его можно получить как предельный случай из уравнения энергии для исходной системы. В самом деле, согласно (10.2.10) его можно переписать в виде
? + 0т| + у (C + I) 02+7 = const. (10.2.15)
Подставляя сюда 0 из уравнения (10.2.11):
• Cw — ті
9 = c + j , (10.2.16)
и, как и ранее, отбрасывая в разложении члены порядка 1/С, получаем формулу (10.2.14).
§ 10.3. Гироскопическая устойчивость. В задаче о спящем волчке (§ 9.9) мы уже встречались с гироскопической устойчивостью; сейчас мы коротко остановимся на общей теории, из которой гироскопическая устойчивость следует как частный случай.
Рассмотрим снова, как в § 10.2, систему, имеющую одну циклическую координату q>i; коэффициент an пусть будет постоянным. Движение системы сп — 1 степенями свободы, описываемой явными координатами, определяет-
12*
180
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
ся с помощью функции Рауса
R = S + ^-(al2q2 + ai3q3+ ...+alngn)-V. (10.2.8)
"її
Тогда TO^iKa(CZ21Q1S1 • • •> Яп), в которой все производные dV/dq2, dV/dq3, ... . . ., dVldqn обращаются в нуль, является положением кажущегося равновесия. Это — положение равновесия в явных координатах для всех значений ?. Нашей целью будет изучить устойчивость по первому цриближению этого кажущегося равновесия.
