Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
F = {тру, — трх, 0}, (10.6.12)
о
G = —rotF = {0, 0, 2тр} (10.6.13) и уравнения движения записываются в форме
• • • ~
X+ 2ру + кх = 0,
у — 2рх + ку = 0, > У + Az = 0. ,
(10.6.14)
§ 10.6]
ЛИНЕЙНЫЕ ЧЛЕНЫ В ФУНКЦИИ L
185
Последнее уравнение этой системы автономно; если принять, что в начальный момент частица движется в плоскости z = 0. так что при Z = Oz = z = O, то все время будем иметь z=0. Первые два уравнения можно заменить одним уравнением относительно комплексной переменной w = x + Лу:
w — HpW + Jew = 0. (10.6.15)
G этим уравнением мы уже встречались дважды: (9.8.7) для к > 0 и (9.9.14) для i<0. Знак к, конечно, существен: между задачей о притяжении и задачей об отталкивании имеется существенная разница. Что же касается знака р, то он не играет особенно важной роли, поскольку замена р на —р и tна —t приводит к тому же самому уравнению. Положительная полутраектория (траектория для положительных значений t) в одной задаче такая же, как отрицательная полутраектория (траектория для отрицательных значений t) в другой задаче, отличающейся знаком р. Будем считать, что р > 0 *).
Представляет интерес случай, когда р2 + к > 0. Это всегда выполняется для притяжения (ft > 0), а при р2 > | к | и в случае отталкивания (? < 0); как отмечалось в § 9.9, это есть условие устойчивости. Будем считать, что условие выполняется, и положим р2 -f- к = s2, s > 0. Тогда при к > 0 s > р, а при к <с 0 s < р. Решение имеет вид
w==4f {[(S-P) Щ-Щ] е^+^ + [(з +p)w0+ iv0] в-*(.-р)*}, (10.6.16)
где W0 и V0 — значения соответственно w и w при t = 0. Некоторые примеры движения, описываемого уравнением (10.6.16), нами уже рассматривались (в § 9.8 для к > 0 и в § 9.9 для к <z 0).
2) Рассмотрим движение заряженной частицы в электромагнитном поле. Сила поля, действующая на частицу, равна в гауссовых единицах
— egradQ— — *>х rot А), (10.6.17)
где е — заряд, который несет частица, Q — скалярный потенциал и А — векторный потенциал поля. Как мы уже видели (уравнение (10.6.10)), член F-vb выражении для L порождает силу
— F+ v X rot F,
действующую на частицу. Поэтому действие электромагнитного поля можно учесть, если в функцию Лагранжа L ввести члены
-eQ+^A-v. (10.6.18)
Пример 10.6А. Теорема Лармора. Рассмотрим массивную заряженную частицу, движущуюся в поле механических и электрических сил, симметричных относительно оси Oz. Как изменится движение частицы при наложении слабого однородного магнитного поля напряженностью у в направлении Oz?
Имеем
А=±У{-У,*,0] (10.6.19)
*) Изменение знака р сводится к замене і на —і, что в конечном счете скажется лишь на знаке координаты у. Из рассуждения в тексте следует, что суждение об устойчивости или неустойчивости движения, описываемого уравнением (10.6.15), одинаково пригодно как при t > 0, так и при t < 0. (Прим. перев.)
186
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. X
И
L = \ т (i2 + у2 + h) +1 IL(Xy- ух) — V — е7І, (10.6.20)
где у и Q представляют собой функции от х2 + у2 и z. Сравним функцию (10.6.20) с функцией Лагранжа (§ 6.7) при тех же механическом и электростатическом полях, но без магнитного поля, причем будем считать, что коор-. динатные оси вращаются около Oz с угловой скоростью со. Имеем
L = -іт(х2+ у2 + г'2) + тосо(х'у — у'х) — V — ей + ут(х2 + у2)со2. (10.6.21) Если положить
со = еу/2тс
и считать со столь малой, что в (10.6.21) можно пренебречь членами порядка со2, то выражения (10.6.20) и (10.6.21) совпадут. Движение в магнитном поле напряженностью у оказывается таким же, как движение относительно вращающихся осей при отсутствии этого поля. Наложение слабого однородного магнитного поля вдоль оси симметрии заданных механического и электростатического полей равносильно наложению на исходное движение вращения с угловой скоростью — со. Это утверждение составляет содержание теоремы Лар-мора. Если заряд е отрицательный, то получаем правое вращение около оси симметрии.
Пример 10.6В. Скрещивающиеся поля. Заряженная частица совершает движение под действием однородного электрического поля и перпендикулярного ему однородного магнитного поля. Найдем траекторию частицы, начинающей движение из состояния покоя.
Пусть заряд частицы будет —є (так что если заряженной частицей является электрон, то є положительно), вектор напряженности электрического поля пусть будет {—Е, 0, 0} и магнитного поля {0, 0, у}. Тогда
L = Y т (х2 + у2 + z2) -Y(х'у — у'х) + гЕх (10.6.22)
или
L = I (X2 + у2 ¦f z'2)- і к (ху - у'х) + gx, (10.6.23)
где к = гу/тс, g = sE/m. Уравнения движения запишутся в виде
x = g — ky, у = кх, z = 0. (10.6.24)
Если частица начинает свое движение из начала координат из состояния покоя, то z все время будет равно нулю и движение в плоскости z = 0 будет описываться уравнением
W = g + ikw, (10.6.25)
где w = X + iy. Решение, удовлетворяющее условиям w = w = 0 при t = 0, имеет вид
w = ^(\-em)+i^(kt). (10.6.26)
Траекторией частицы является циклоида
X = Я, (1 — cos 9), у = к (Q — sin Є), (10.6.27)
