Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 89

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 290 >> Следующая


JV та

2 ктХтЬхг = 2 ^r- б?.. (10.11.5)

т= і s=l d9s

Основное уравнение (10.11.2) после преобразования первого слагаемого (§ 6.1) принимает вид

Оно справедливо для произвольных значений oq; таким образом, мы получаем п уравнений движения

-зг(—7-І—я— = —"я---г-. -г = 1, 2, (10.11./)

dt \ d'Qr ) dqr dqr d-qr V

Физический смысл функции F очевиден: численное значение F в любой момент времени равно половине скорости потери энергии, расходуемой на преодоление трения. Это истолкование подтверждается и соотношением (10.11.7):

умножая r-е уравнение на qr и суммируя по г от 1 до п, находим (см. § 6.7)

п

JL(T+V)=-%'qr^-=-2F. (10.11.8)

r=l дЧг

198

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА

[Гл. 'X

В качестве примера рассмотрим колебания системы около положения устойчивого равновесия при наличии диссипативных сил рассматриваемого типа. Диссипация, очевидно, способствует устойчивости. Как обычно, примем, что в точке О функция V равна нулю, так что (поскольку V имеет в точке

0 минимум) V > 0 в окрестности точки О, но не в самой этой точке. Если при

1 = 0 энергия T + V имеет значение С, то согласно (10.11.8) при f>0 T + + V < С; следовательно, при t > 0 V < С и равновесие устойчиво.

Приведенные рассуждения, однако, не являются полными. В общем случае при t оо смещение стремится к нулю и колебание затухает. Когда смещение стремится к нулю, говорят об асимптотической устойчивости; когда же оно сохраняется малым (см. § 9.9), то говорят просто об устойчивости.

Докажем, что наличие диссипативных сил превращает обычную устойчивость в асимптотическую. Рассмотрим для простоты систему с двумя степенями свободы. Пусть X и у — главные координаты системы без затухания, так что

T = Y(x* + y*), V = ~(p2x2 + q2y2). (10.11.9)

Введем теперь диссипативные силы, соответствующие диссипативной функции

F = Y (Ах2 + 2Нху + в'у2), (10.11.10)

где А, Н, Bc достаточной степенью точности можно считать равными их значениям в положении равновесия. Уравнения движения запишутся в виде

¦Ах4-P2X-A-Ни — v. , ,,rsA. ,,ч

-л-f -г я , \ (10.11.11)

y + By+q*y+Hx--

Заметим, что если форма F лишь знакопостоянная, то движение может и не быть асимптотически устойчивым, например, если А = H = 0, то движение по координате х будет представлять гармоническое колебание. Если, однако, F— определенно-положительная форма, то обе переменные х и у стремятся к нулю при t—y оо. В самом деле, решения уравнений (10.11.11) строятся как линейные комбинации членов е1^, e%2t, е1^' и е%^, где Xi, X2, X3, X4 суть корни уравнения четвертой степени

(л2 + AX + р2) (X2 + BX + q) — H2X2 = 0, (10.11.12)

причем все они имеют отрицательные вещественные части. В самом деле, пусть / (X) обозначает левую часть уравнения (10.11.12). Функция / (z) не имеет действительных или чисто мнимых нулей, и изменение amf (z) при обходе контура, состоящего из отрезка действительной положительной полуоси, дуги большого круга в первом квадранте и отрезка положительной мнимой полуоси, равно нулю. Поэтому уравнение (10.11.12) не имеет корней в первом квадранте. Поскольку коэффициенты в уравнении действительны, его корни комплексно-сопряженные, и, следовательно, справа от мнимой оси уравнение не имеет корней. Таким образом, все четыре корня лежат слева от мнимой оси и действительные части их отрицательны.

§ 10.12. Гироскопическая система с диссипацией. Рассмотрим голоном-ную систему с п степенями свободы, в которой т первых лагранжевых координат qi: q2, . . ., qm являются циклическими. Предположим, что система обладает диссипацией типа Релея, влияющей только на явные координаты, так что

F= S S /«Srg., (10.12.1)

r=m+1 s=m+1

§ 10.12]

ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ДИССИПАЦИЕЙ

199

где коэффициенты /„ зависят от (qm+i, qm+2, ¦ ¦ ¦ , qn)- Первые т уравнений Лагранжа дают

4^ = ?r, г= 1,2, т. (10.12.2)

dqr

т •

Составляем функцию Рауса, для чего L — ^ Ри?г выражаем через qm+i,

r=l

qm+2, . . . , qn; qm+i, qm+2, . . ., qn; ?i, ?2, • • ., ?m (см. § 10.1). С помощью уравнений (10.11.7) уравнения движения в явных координатах можно записать в виде

4(-^)-^=-^' г = т+1,т+2,...,п. (10.12.3)

М V dqr ' °Чт dqr

Примером системы такого рода может служить система, содержащая гироскопы с подшипниками без трения, когда движение платформы, на которой укреплен гироскоп, испытывает трение релеевского типа.

Рассмотрим теперь проблему гироскопической устойчивости и выясним, каково влияние диссипации по явным координатам. Если V, как функция от явных координат, имеет в положении равновесия минимум, то диссипация, как и следовало ожидать, повышает устойчивость. В общем случае мы имеем асимптотическую устойчивость по явным координатам. Если же V имеет максимум в положении равновесия, то дело обстоит иначе. Даже тогда, когда при отсутствии диссипации имеет место устойчивость для достаточно больших значений ? (§ 10.3), введение диссипации вызывает неустойчивость.
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed