Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим снова задачу о спящем волчке (§. 9.9) и предположим, что имеется пара сил трения с моментом /ссо, препятствующим вращению оси волчка и пропорциональным угловой скорости со. Будем считать, что к постоянно и не зависит от положения оси. Диссипатив-ная функция имеет вид
F = 4" Ь>2 = 4^(92 + sin29(p2) (10.12.4)
или, приближенно,
F = ±k(y* + z*), (10.12.5)
причем направляющие косинусы оси выбраны равными (1, у, z), как в § 9.9. Допустим на минуту, что у я z малы (фактически это не выполняется). Уравнения движения будут иметь вид (см. (9.9.1))
... . і
y + 2pz — qy= — 2sy, |' (10.12.6)
z — 2ру —qz=~ 2sz, где 2s = к/А > 0. Полагая, как и ранее, w = у + iz, получаем
w — 2i(p + is) iv — qw = 0. (10.12.7)
Даже если считать, что р2 > q + s2 (вместо р2 > q), то окажется, что вертикальное положение оси волчка неустойчиво. Решение содержит слагаемые
ехр і {(р + is) ± (а + i?)} t = exp {(-s + ?) + і (p ± a)} t, (10.12.8)
где а >> ? > s > 0, и одно] слагаемое имеет множитель e<P~s)Сделанное ранее предположение о том, что ось волчка остается вблизи направленной вверх вертикали, не выполняется, и вертикальное положение оси является неустойчивым. (Как уже отмечалось, линейное приближение оказывается
200
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
1Гл. X
достаточным для установления неустойчивости, тогда как в противоположном случае, когда | w | остается малым, устойчивость не может быть гарантирована на основании линейного приближения.) Значения а и ? определяются формулами
2а2 = V (р2 — q — s2)2 + 4p2s2 + (pz — q — s 2?2 = V(p2- q — s2)2 + 4p2s2 — (p2 - q
2) J
(10.12.9)
2 (?2 — s2) = V(P2 — Я+ s2)2+4qs2 — (p2 — q + s2) > 0. (10.12.10)
§ 10.13. Уравнения Гамильтона. Мы уже отмечали (§ 6.4), что п уравнений Лагранжа второго порядка для голономной системы можно заменить In уравнениями первого порядка, имеющими вид
х = Х. (6.4.4)
Здесь x и А' — векторы (матрицы-столбцы). Этого, очевидно, можно достигнуть, выбрав в качестве переменных п координат qr и п скоростей со,. = qT. Но значительно более удобную и важную форму уравнений первого порядка мы получим, если в качестве переменных возьмем п координат qr и п импульсов рг (§ 6.10).
Предположим сначала, что система голономна и консервативна и обладает п степенями свободы. Имеем
Рг = ~, г=1,2, .... п. (10.13.1)
dqr
Выразим из этих уравнений q через р. Скорости q являются линейными функциями от р с коэффициентами, зависящими от q (иногда также от t). Подставляя эти выражения для q в соотношение
п п
^q1. IL-L=^PrQr-L, (10.13.2)
получаем функцию от р, q и t. Эта функция называется функцией Гамильтона и обозначается через Н. Таким образом, мы получаем функцию Гамильтона
из соотношения (10.13.2) после замены в нем q на р. Она представляет собой квадратичную форму от р с коэффициентами, зависящими от q и t. Функция Гамильтона
H = H (qu q2, . . ., qn; ри р2„ . . ., рп; t) (10.13.3)
зависит от переменных q и р, тогда как функция Лагранжа (§ 6.6) зависела
от q и q. Кратко функцию (10.13.3) можно записать так:
H = H (q; р; t). (10.13.4)
Рассмотрим теперь произвольную вариацию q и q (или соответственно-произвольную вариацию q и р), при которой t не варьируется. Имеем
п
dL „ дЬ
6Я = 2 [рМг + QrSpr —|— 8gr — 4-- 6qr) =
n
-2 (Sropr—J^&fc). (10.13.5)
§ 10.13] УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 20J
Отсюда
в'==-5^' -5ST=5—^- (10.13.6)
9рг <?</r 3}
Переходя к уравнениям движения
d і дЬ \ дЬ
Pr = ITt
(f№ (10лз-7>
видим, что они эквивалентны системе 2п уравнений
<9пго — уравнения движения Гамильтона, полученные им в 1834 г. Уравнения Гамильтона играют исключительно важную роль в аналитической механике. Они имеют форму (6.4.4), но отличаются от нее тем, что 2п входящих в них зависимых переменных сгруппированы в п пар {qT, рг), а правые части имеют форму, указанную в уравнениях (10.13.8).
Прежде всего отметим, что две группы уравнении(10.13.8) неодинаковы по своему содержанию. Первые п уравнений
^ = Jf7 (Ю.13.9)
получены исключительно на основе определения функции H и совершенно не связаны с законами динамики. Они эквивалентны п уравнениям, определяющим переменные р:
Pr = -^-- (10.13.10).
dqr
В самом деле, уравнения (10.13.9) определяют q как линейные функции от р,
а уравнения (10.13.10) определяют р как линейные функции от q. Если разрешить уравнения (10.13.9) относительно р, то получим соотношения
(10.13.10), а разрешая последние относительно q, придем вновь к уравнениям (10.13.9). Динамические закономерности находят отражение лишь во второй грушіе уравнений (10.13.8):
»=-lt- (10ЛЗЛ1>
То обстоятельство, что две группы уравнений Гамильтона различаются по содержанию, несущественно для приложений, и их можно считать совершенно равноправными.
С помощью функции Гамильтона можно составить уравнения движения, она заключает в себе полное описание возможных движений механической системы.
