Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим известное решение, которое часто называют невозмущенным,.
через х; таким образом, при t = 0 хт = ат и хт = Хт (X1, xz, . . ., xm). Близкую, или возмущенную, характеристику обозначим через х + у, тогда в момент t = 0 будем иметь у г = б,., и
Xr + Уг = Xr(X1 + уи х2 + г/а, . . ., хт + ут), г = 1, 2, . . ., т.
(23.1.3>
-458
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
Таким образом, смещение // относительно невозмущенной характеристики удовлетворяет уравнениям
Ут = Y1. (уи у2, . . ., ym; t), г = 1, 2, . . ., т, (23.1.4)
где
Yr (г/і, г/2, • • м Ут, t) = Хг (X1 + уи X2 + уг, ¦ ¦ ., хт + ут) —
—ХТ (X1, X2, . . ., хт). (23.1.5)
Символы Xi, х2, . . ., хт в правой части (23.1.5) обозначают известные функции от t, а именно значения координат невозмущенного движения в момент t. Система (23.1.4), в отличие от (23.1.1), конечно, не является автономной.
Обозначим через | у | величину ]/" | yt |а + | у2 |2+ . . . +1 у1Л \г и соответственно через І б I — выражение }л\ S1 |2 + | O212+. • -+|бт |а *). Предположим, что величина | 6 | мала. Как известно, решение дифференциальных уравнений (23.1.1) изменяется в зависимости от начальных данных непрерывным образом; поэтому величина | у | будет мала вместе с | б |, по крайней мере для достаточно малой области значений t. В некоторых частных случаях величина | у | остается малой для всех положительных значений t.
Ниже (в § 23.7) мы вернемся к уравнениям (23.1.4), сейчас же нашей непосредственной целью будет изучение не точных уравнений, а уравнений линейного приближения. Если разложить правые части уравнений (23.1.5) в ряды по степеням уТ и ограничиться линейными членами, то мы получим следующие уравнения линейного приближения:
m
|г=2вг.?., г= 1,2, ...,т. (23.1.6)
S=I
Мы обозначили здесь зависимую переменную через ?г, а обозначение уТ сохранили для составляющих вектора у, удовлетворяющего точным уравнениям (23.1.4). Таким образом, вектор | удовлетворяет линейной системе {23.1.6). Коэффициенты ars являются известными функциями от t: они равны частным производным дХт!дха, вычисленным в точке (xt, х2, . . ., хт), занимаемой изображающей точкой в момент t на невозмущенной характеристике.
Уравнения (23.1.6) называют уравнениями в вариациях, иногда — уравнениями в вариациях Якоби или Пуанкаре. Они связаны с точными уравнениями (23.1.4) точно так же, как уравнения линейного приближения связаны с точными уравнениями в задаче о движении в окрестности особой точки (§ 21.11). Уравнения в вариациях можно записать в матричной форме:
I = Al, ' (23.1.7)
где I есть матрица-столбец {Нь |г, . . ., g7ll}, а А — матрица размером т X т, элементы которой aTS суть известные функции от t.
В следующем параграфе мы найдем решение | уравнений (23.1.7), принимающее значение б при t = 0. Если это решение таково, что величина | | | остается малой вместе с | б | в течение всего времени, то соответствующее невозмущенное движение называют устойчивым по первому приближению или устойчивым в бесконечно малом.
Имеются два важных частных случая, в которых элементы ars матрицы А постоянны. Первый из этих случаев относится к движению в окрестности особой точки; он, в частности, включает в себя классическую теорию малых колебаний около положения устойчивого равновесия. Во втором из этих случаев невозмущенное движение является установившимся (§ 9.6). При этом
*) Отметим, что, как и в § 21.11, функция | V1 \ + | у2 I + • • • + I Ут ! имеет .о основном ту же область применения, что и I у |.
§ 23.2]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ B ВАРИАЦИЯХ
459
движении явные (нециклические) координаты и количества движения сохраняют постоянные значения, а циклические координаты (которые не остаются постоянными) не входят в формулы, определяющие элементы матрицы ars. Решение уравнений в вариациях (23.1.7) для случая, когда элементы матрицы А постоянны, уже было найдено нами в § 21.10.
Если известно общее решение (23.1.2) уравнений движения, то решение уравнений в вариациях (23.1.7) при заданном начальном значении 6 находится, очевидно, без особого труда. Эти уравнения удовлетворяются функциями
5г = -|2г., г = 1,2,...,,«, (23.1.8)
где индекс s может иметь любое из значений 1,2, . . ., т. Это утверждение становится очевидным, если в уравнения (23.1.1) вместо хг подставить срг и продифференцировать частным образом по а,, учитывая при этом, что d\r/dt das=d2<fTldas dt. Геометрический смысл этого очевиден. Обозначим матрицу (d<pr/das) через S, каждый столбец ее удовлетворяет уравнению (23.1.7), следовательно,
S=AS. (23.1.9)
(Как обычно, S обозначает здесь матрицу, которая получается из S дифференцированием по времени каждого элемента.) Отсюда следует, что решением уравнений в вариациях будет | = »S'o, и так как S=J7n при і = 0, то полученное решение как раз и будет решением, для которого при t=0 1 = 6.
§ 23.2. Решение уравнений в вариациях. В этом параграфе мы получим решение уравнений в вариациях (23.1.6), удовлетворяющее в момент Z = O, заданному начальному условию | = O. Воспользуемся методом последовательных приближений.
