Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим матрицу H (Z), заданную рядом
S (t) = JD0 +JD1(Q +D2(t) + (23.2.1) в котором первое слагаемое равно
JD0 = In, (23.2.2) а последующие слагаемые определяются по правилу
A+1 = AJDn (23.2.3)
причем
D7+1(O) = O (23.2.4)
(матрица _Dr+1 получается из матрицы JD741 дифференцированием каждого элемента).
Отсюда следует, что
R(O) = JD0 = Im (23.2.5)
и
R(t) = AJR(t). (23.2.6)
JS(Z)O удовлетворяет системе (23.1.6) и в момент Z = O имеет значение б, так что искомым решением будет
I = JB (t)6. (23.2.7)
Как и следовало ожидать, | линейным образом зависит от 6. (Матрица JS(Z) фактически есть матрица S (д(рг/да3), встречавшаяся нам в § 23.1.)
Элементы матрицы JR представляются в форме бесконечных рядов, в связи с чем возникает вопрос о сходимости. Рассмотрим интервал 0 ^ Z ^ Z1 и определим число К таким образом, чтобы для всех та2 элементов ars матрицы А
460
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
выполнялось неравенство
I aTS (t) \ < К (23.2.8)
во всем интервале 0 SC t ^1. Обозначая через (?" типичный элемент матрицы Dr (t), напишем следующие очевидные равенства:
dS=e»r, «Йй = J Ou0 (9) «й- (23.2.9) о
Отсюда получаем оценку
|dS|<tf*, (23.2.10)
справедливую в интервале O^t^t^ Аналогично
1«I=IS «I < тКЧ (23.2.11)
w
И
\d<%\<mK42/2\ (23.2.12) Продолжая рассуждения, находим, что в интервале 0<^<;^
т?г I <С I < (mKty/rl * (23.2.13)
Отсюда следует, что ряды для элементов матрицы мажорируются экспоненциальными рядами с постоянными членами и, следовательно, равномерно сходятся в интервале 0 SC t ^ ^1.
Отметим некоторые свойства определителя Якоби
/ = det R = Ш - 4Щ-. (23.2.14)
д (о) д (а) 4 '
(Для краткости мы здесь через 9(|)/3(б) обозначились^, g2, ...,Im)Zo(O11O2,бт).) Как и в § 21.7, имеем
^ = аи +a22-f ... +amm = ;Sp A = p(i), (23.2.15)
откуда
t
I P (Є) сів
J = e° . (23.2.16)
(Эту формулу можно вывести непосредственно из (23.2.6), не ссылаясь на результаты § 21.7.) Функцию р (t) можно рассматривать как дивергенцию А векторного поля X в момент t в невозмущенном движении. Если для системы величина А тождественно равна нулю (как это имеет место, например, для системы Гамильтона), то в течение всего времени / = 1 (см. § 22.6).
В частном случае, когда элементы ars матрицы А постоянны, имеем
Dr = (f/r\)Ar (23.2.17)
и
R = Im+tA + (t2/2\)A2+{t3?\)As+...=e'A. (23.2.18)
Решение (23.2.7) в этом случае (т. е. когда элементы матрицы А постоянны) принимает вид
l = etA6, (23.2.19)
уже знакомый нам из § 21.10.
§ 23.2]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ВАРИАЦИЯХ
461
Рассмотрим два простых коикретных примера приложения решения (23.2.7), в частности решения (23.2.19), уравнений в вариациях.
Пример 23.2А. Гармонический осциллятор. Выше уже отмечалось, что в задаче о малых колебаниях элементы матрицы А постоянны. В частном случае системы с одной степенью свободы уравнения имеют вид
I» = Ь. Ь = -п% (23.2.20)
и матрица А имеет форму
МЛ J)- (23-2-21)
Следовательно,
(Г Л) ¦ (<-V„*a). — tr <-%.) • •¦ » p«-)
Таким образом
вгЛ_ ы_/1-^2/2! + и4г4/4!-... *_,Ав/з! + ...х
C0Snt is[nnt\. (23.2.23)
Решение имеет вид
Ei =6i cos ntA--— sin nt,
п
S2 = — n&t Sin ПІ 4-O2 cos
¦ n sin ref cos »?i
n ' j (23.2.24)
Решение становится еще более простым, если матрицу привести к диагональной форме, введя новые переменные rigx ± і|2. Как уже отмечалось в § 21.10, степенные ряды (23.2.23) были получены нами в § 21.4 другим методом.
Пример 23.2В. Ньютоновская орбита. Имеем
н=т (рї+7ірЬ)~т• (23-2-25)
Уравнения движения имеют вид
1 -ч
r = pr, 0 = —ре, )
I (23.2.26)
Величины г, 8, pr, Pq играют здесь роль переменных хи х2, х3, хк; матрица А имеет форму
О 0 10
Г3 г4 г3
0 0 0 0
где ? — постоянное значение рв в невозмущенном движении, а г — значение в момент t в невозмущенном движении. Если невозмущенная орбита представляет собой эллипс с периодом а, то элементы матрицы А являются известными периодическими функциями от t с периодом 0.
Рассмотрим, в частности, случай, когда невозмущенная орбита представляет собой окружность радиуса а; пусть она описывается телом, совершающим вращение с угловой скоростью со = "i/|x/a3. Движение в этом случае является установившимся, и элементы матрицы А сохраняют постоянные значения:
0 0 10 4
--2UOoV
-Ш2 о 0 ^
а
0 0 0 0 /
(23.2.28)
462
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIIl
Уравнения в вариациях имеют вид
? - ? і - 2o)
51=63. S2— '--—
Решением этих уравнений будет
Ii = ёз, Ь=—^ ?1+-^-64. ?3=-»2Ei+-^ Si. L = O- (23.2.29)
6 2
Ii = S1 cos (oi+-0y"silicw + "t^- 64 (1 — cos со/),
g2= — L-O1 sin coi4-б2—-2^- (1— cosM) — ~i^(3ft)i — 4 sin (Dt),
2
I3= —WO1 sin coi-f 63cos Wt+--S4 sin сог,
(23.2.30)
?4 = 64-
Заметим, что величины | ?i I, I ?3 I, I ?4 I остаются малыми вместе с | б | в течение всего времени, а | |2 ] оо, когда t -*¦ 00 (исключая случай, когда O4 = 0). В важном частном случае, когда (бі, б2, б3, 64) = (0, 0, и, 0), решение имеет вид
