Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
.On(PXeW. (22.14.12)
Так как є произвольно, то отсюда следует лемма 6.
Теперь легко получить доказательство эргодической теоремы для случая, когда Ъ—>-оо, изменяясь непрерывным образом.
Пусть п — наибольшее целое число, не превышающее Ь; тогда nib-+- 1, когда b —>¦ оо. Имеем
\ЬІЇ(Р)-п№(Р)\ =
Ъ Ь п+1
= | ]/(Л)<й|<{|/(Л)|Л<: j \f(Pt)\dt = Qn (P). (22.14.13)
п п п
Следовательно,
и* (P)-I^ (P)
<|0П(Р) = |-^-. (22.14.14)
Выражение справа, согласно лемме 6, стремится к нулю, когда Ь—>оо. Таким образом, разность
Vt(P)-^vZ(P) (22.14.15)
ПРИ Ь —> oo СТреМИТСЯ К НуЛЮ, ОТКуДа Следует, ЧТО pg (Р) и Jj7« (P) имеют
один и тот же предел ф (P).
§ 22.15. Метрическая неразложимость. Мы видели, что предел
ь
Ф (P) = lim pb (P)= Ига\ f (P1) dt (22.15.1)
существует почти для всех точек P инвариантной области Q и что функция Ф (P) постоянна вдоль траектории. Как уже указывалось, при определенных условиях функция ф (P) сохраняет постоянное значение во всей области,
§ 22.15]
МЕТРИЧЕСКАЯ НЕРАЗЛОЖИМОСТЬ
449
но примеры § 22.10 показывают, что в классической механике это, вообще говоря, не имеет места. В этом параграфе мы рассмотрим условия, которые должны выполняться для того, чтобы функция ср (P) была постоянна в области Q.
Будем называть инвариантную область Q метрически неразложимой, если ее нельзя представить в виде
Q = Q1 U 02, (22.15.2)
где инвариантные области Q1 и Q2 не имеют общих точек и обладают положительной мерой. Докажем, что если область Q метрически неразложима, то 1) функция ср (P). почти всюду в Q постоянна и 2) величина этой постоянной определяется выражением
Ч(Р) = -і!к1НР)аУ- (22.15.3)
Q
Важность последнего результата состоит в том, что среднее по времени значение на характеристике заменяется средним по пространству (по области Q).
Докажем сначала, что функция <р (P) почти всюду в области Q постоянна. Разделим вещественную ось х на отрезки
4г<*<Ц?-' (22.15.4)
считая к целым числом (не обязательно положительным). Будем называть такой отрезок существенным отрезком, если множество точек P области Q, для которых значения cp (P) принадлежат отрезку, имеет положительную меру. Если для любого п существует только один существенный отрезок бп-, то отрезок On+1 содержится в On и последовательность отрезков бп (п = = 1,2, . . .) имеет единственную общую точку а. При этом ср (P) = а почти всюду в области Q. С другой стороны, если для некоторого п можно указать два существенных отрезка, то найдется число ?, обладающее тем свойством, что область Q может быть разделена на две части Q1 и Q2 такие, что для точек Q1 будем иметь ср (P) > ?, а для точек Q2 будем иметь ср (P) ^ ?. Но множества Q1 и Q2 представляют собой инвариантные области, не имеющие общих точек, поскольку функция ф (P) постоянная на характеристике. Таким образом, мы пришли к противоречию с предположением о метрической неразложимости области Q. Следовательно, функция ф (P) постоянна во всей области Q, т. е.
Ф (P) = а (22.15.5)
почти для всех точек Q.
Остается доказать, что а = А, где
A = 4a[f^dV' (22.15.6)
й
Интуитивно это ясно. Нетрудно получить и формальное доказательство. Для этого заметим прежде всего, что для любого положительного Ь
ь
j ць (P) dV = -у j dt J f (Pt) dV, (22.15.7)
a OQ
Ho так как Q является инвариантной областью, то в силу теоремы Лиувилля имеем
^f(Pt)dV= J f(P)dV (22.15.8)
29 л. А. Парс
450
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
и из формул (22.15.7) и (22.15.8) находим
J \i\(P)dV = J f(P)dV = A(mQ). (22.15.9)
Таким образом, интеграл j u& (P) dV фактически не зависит от Ъ, и, чтобы
Q
доказать равенство a — А, достаточно показать, что интеграл
j {a-iib(P)}dV (22.15.10)
Q
стремится к нулю при Ъ —>- оо, но поскольку он не зависит от Ь, то его значение может быть только нулем.
Возьмем некоторое положительное число е. Пусть Qi (Ь) — множество точек P области Q такое, что
\* — Р$(Р)\<Ь (22.15.11)
a Q2(b) — множество точек P области Q такое, что
|a-ub(jP) I>е. (22.15.12)
При этих условиях будем иметь
I j {а-цЬ(і>)}ат|< J \a-ti(P)\dV +
Q Qi(b)
+ j \a-yLb0(P)\dV^e(ma)+\a\(mQ2(b))+ j | jig (/>) | dV. (22.15.13)
02(b) Q2(b)
Разность a* (P) — a при b -> оо стремится к нулю почти для всех точек области Q, и так как сходимость почти всюду означает сходимость по мере, то mQz (Ь) -> 0, когда Ъ —>¦ оо.
Для последнего слагаемого в правой части (22.15.13) имеем оценку ь ь
j \ії(Р)\аУ<±Іаі j \f(Pt)\dV = ±\dt j \f(P)\dV, (22.15.14)
Й2(Ь) O Q2Cb) U aJ(b)
где через Q2 (fe) обозначена область, в которую переходит область Q2 (Ь) за время t. Но mQ2(?>) = mQz (b) и mQ2 (fe) стремится к нулю, когда Ъ оо,
так что интеграл j | LiJ (P) | аТ при достаточно большом b может быть
Й2(Ь)
сделан меньше е. Окончательно получаем, что существует такое число Ь0, что при b > Ь0
mQ2(b)<e, j |[іь(P)\dV<Ce (22.15.15)
Й2(Ь)
и, следовательно, при ?> > Ь0 -
