Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
j j {a-^(P)} <(m?+|a| + l)e. (22.15.16)
Q
Так как левая часть не зависит от Ь, то она может равняться только нулю, что и завершает доказательство.
Условие метрической неразложимости существенно для постоянства функции ср (P) в области Q. Простым примером, в котором это условие заведомо не выполняется, может служить гармонический осциллятор, рассмотренный в § 22.10. Возьмем какую-либо концентрическую окружность радиуса Ль О < Ri < R, тогда область Q (г < R) разделится на две инвариантные области Q1 (О -< г ^ Ri) и Q2 (Ri < г ^ R), каждая ненулевой меры. Как уже указывалось, в этом примере функция <р (P) постоянна вдоль характеристик, но не постоянна во всей области Q.
§ 22.17]
СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
451
§ 22.16. Интегралы уравнений движения. Согласно теореме § 22.15 требуется, чтобы рассматриваемая инвариантная область была метрически неразложимой. Если уравнения движения допускают однозначный интеграл то область a ^ i|) Ъ будет инвариантной областью. Однако ясно, что она не будет метрически неразложимой, поскольку представляет объединение инвариантных областей a^ip^c, c<ip^b, где с — любое число, заключенное между а и Ъ. Тем не менее существование такого интеграла позволяет перейти в теореме Лиувилля от интегрирования по 7л-мерному пространству к интегрированию по (тп — 1)-мерному пространству.
Рассмотрим в качестве примера автономную гамильтонову систему, для которой координата Qn является циклической. При этом рп представляет собой интеграл и траектории располагаются в плоскостях рп = const. Рассмотрим плоскость со, заданную уравнением рп = ?. Движение системы определяет преобразование точки P0 плоскости со в точку P той же плоскости (здесь P0 — положение изображающей точки в момент t = О, a P - положение ее в момент t). В результате область U0 плоскости со переходит в заданный момент t в область U той же плоскости.
Это преобразование в (2га — 1)-мерной плоскости со сохраняет меру. Иными словами, теорема Лиувилля остается справедливой в (2п — ^-мерном пространстве. Для доказательства рассмотрим цилиндр с основанием U0, ограниченный плоскостями рп = ? и рп = ? -f- є. Согласно теореме Лиувилля объем этого цилиндра является инвариантом, откуда следует, что mU = mU0.
Возьмем более общий случай: пусть -ф есть однозначный интеграл уравнений движения. Обозначим через dv элемент объема многообразия ip = ?. Тогда, повторяя те же рассуждения, что и раньше, убеждаемся, что интеграл
остается инвариантным при преобразованиях, определяемых движением. Наиболее важным является случай, когда т|э есть функция Гамильтона Н.
Тогда интеграл \ dv сам не является инвариантом, но существование инва-
риантного интеграла I ф dv с положительной подынтегральной функцией ф
может оказаться столь же полезным, как и существование объемной инвариантности в теореме Лиувилля.
§ 22.17. Следствие теоремы Лиувилля. В предыдущем параграфе мы использовали факт существования однозначного интеграла уравнений движения для получения инвариантного интеграла по области 2п — 1 измерений. Выясним теперь условия, при которых существует инвариантный интеграл по области 2п — 2 измерений.
Рассмотрим автономную систему Гамильтона, допускающую периодическое решение. Допустим, что периодическая траектория начинается в момент ( = 0 в точке А фазового пространства и возвращается в эту точку в момент t = о; координатами точки А пусть будут (аь а2, . . ., ап, ?4, Рг> • • ч ?n)- Предположим, далее, что производная OHIdQ1 в точке А не обращается в нуль, так что траектория не касается плоскости со, уравнение которой
Обозначим через U0 малую окрестность точки А в плоскости сои рассмотрим траекторию, начинающуюся в момент t = 0 из точки P0 области U0. Спустя время т изображающая точка возвратится в плоскость со, в точку Р, близкую к P0; время т будет мало отличаться от а. Траектория, начинаю-
Pi = Pi-
29*
452
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
щаяся в точке P0, может многократно возвращаться в плоскость со, но тем не менее точка P точно определяется упомянутым выше свойством непрерывности. По мере того как точка P0 принимает всевозможные положения в области U0, точка P описывает область U в плоскости со, и в результате движение определяет топологическое отображение области U0 на область U. Точка А является неподвижной точкой этого отображения.
Рассмотрим интервал времени от Z = 0 до Z = t0. Траектории, выходящие в момент Z = O из точек области U0, заполняют в течение этого времени цилиндр C0 с основанием U0. Аналогично, траектории, начинающиеся в момент Z = Ob точках области U, образуют за время (0, Z0) цилиндр С с основанием U. Если обозначить через R трубку, образуемую траекториями, начинающимися в P0 и оканчивающимися в Р, то согласно теореме Лиувилля область R + С — C0 будет иметь тот же объем (меру в пространстве 2п), что и R, так что С будет иметь тот же обт>ем, что и C0. Полагая Z0 = 0, видим, что интеграл
—bJi~dqidq2 " - d1ndp2dp3 ... dpn (22.17.1)
и
остается при преобразовании инвариантным.
