Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
P
D J
Рис
. 100.
(22.10.1)
•у ^ ІЯі cos21 -j- 2(^1P1 cos t sin t -j- P1 sin2 t) dt =
= у ill + Pl) + ^ {(її-P\) sin 2b + 2qlPi (1 -cos 2b)}. (22.10.2)
444
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
При Ь ->¦ оо эта величина стремится к -у (q2 + р{) *)¦ Мы вновь обнаруживаем, что предел
один и тот же для всех положений точки А на характеристике, но не одинаков во всей области Q. Результат не изменится, если взять дискретные точки A, Ax, . . ., A(n_i)x;
\
среднее значение q2 в этих точках стремится к тому же самому пределу — [q\ + pf), если
и
только т не равно целому кратному я.
§ 22.11. Множество Ks. Перейдем теперь к доказательству эргодической теоремы. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что величина рЬ (р) почти для всех точек P множества Q стремится к некоторому пределу, когда параметр Ъ растет до бесконечности, принимая целые значения. Затем мы от этого ограничения откажемся и докажем, что предел существует и тогда, когда Ъ стремится к бесконечности, возрастая непрерывно.
Рассмотрим величину ру(Р), считая п целым числом. Требуется доказать, что эта величина стремится к некоторому пределу почти для всех Р. Предположим противное: пусть имеется подмножество L множества У, имеющее положительную меру mL и такое, что для точек P ? L величина р™ (P) не стремится ни к какому пределу. Докажем сначала две следующие леммы.
Лемма 1. Существуют два вещественных числа а и ?, а < ?, и подмножество К множества L, имеющее конечную положительную меру тК и такое, что если P ? К, то
lim ц? (P) < а, ЙТгГ ц? (P) > ?. (22.11.1)
Для доказательства рассмотрим множество всех интервалов с рациональными граничными точками. Так как это множество счетное, то его элементы можно расположить таким образом, чтобы n-й интервал 8п имел граничные точки ап, ?n. Если P ? L, то
lim pi? (P) < ITnT-Pg(P)
и, следовательно, среди интервалов S71 найдется такой (скажем, 8Р), для которого
limpul(P)<ap<?p <ЇЇтц]?(Р).
Обозначим через Lp множество точек L, связанных с интервалом бр. Множества Li и Lj при і не имеют общих точек, и
L = U Lp.
Так как mL > 0, то mLp >0 по крайней мере для одного р, скажем р = q. В качестве множества К мы можем взять L4 с a = aq и ? = ?g.
Лемма 2. Пусть s — целое положительное число. Обозначим через К& подмножество точек P множества К (см. лемму 1), для которых неравенство
р?(^)>Р
выполняется по крайней мере для одного значения п s. Тогда для достаточно больших значений s будем иметь
mKs>0. (22.11.2)
Так как при достаточно большом s каждая точка P ? К принадлежит всем K8, то
K = U K1.
S=I
*) Этот результат следует из известного свойства гармонического движения: T =
§ 22.12]
СОБСТВЕННЫЕ ОТРЕЗКИ
445
С другой стороны, Следовательно,
тК= lim mKs.
S-VOO
Из неравенства тК > О следует, что mKs > О при достаточно большом s. Лемма 2, таким образом, полностью доказана.
В дальнейшем мы будем считать s фиксированным целым положительным числом, для которого выполнено условие mKs>0.
§ 22.12. Собственные отрезки. Введем понятие собственного отрезка, точнее, собственного отрезка точки P для числа ? (см. леммы 1 и 2). Возьмем точку P множества К, и пусть а — целое число, положительное, отрицательное или нуль. Рассмотрим числа p,g+1 (P), ц?+2 (P), р.„+3 (P), . . . Если р,? (P) есть первое из этих чисел, превышающее ?, то отрезок (а, Ъ) мы будем называть собственным отрезком точки Р. Таким образом, собственный отрезок (а, Ъ) обладает тем свойством, что
u*(i>)>?, т (P) <?,
где с — любое целое число, заключенное между а и Ъ.
Лемма 3. Два собственных отрезка (аи bt) и (аг, Ь2) точки P не могут частично перекрывать друг друга. Допустим, например, что ai < а2 < < < Ьг. Тогда мы имели бы
Фі - at) ц-ьі = (а2 - U1) ц« + (Ъ, - а2) ц<?.
Но это невозможно, поскольку левая часть больше, чем (O1 — U1) ?, а правая часть меньше (или равна), чем
(аг — U1 + bi — а2) ? = (by — at) ?.
Собственный отрезок точки P мы будем называть максимальным отрезком ранга s, если его длина не превышает s и если он не содержится ни в каком другом собственном отрезке точки Р, длина которого не превышает s.
Лемма 4. Всякий собственный отрезок, длина которого не превышает s, содержится в одном и только в одном максимальном собственном отрезке ранга s. Для доказательства заметим, что среди всех собственных отрезков, длина которых не превышает s и которые содержат данный отрезок, имеется один отрезок максимальной длины. Ясно, что этот отрезок и есть максимальный отрезок ранга s. Существует лишь один такой отрезок; если бы их было два, то они имели бы общие точки, поскольку оба они содержат заданный отрезок. Но в этом случае либо один из них содержался бы в другом и потому не был бы максимальным отрезком ранга s, либо они имели бы общую часть, что, как мы видели, невозможно. Таким образом, лемма доказана.
Лемма 5. Для того чтобы точка P принадлежала множеству Ks, необходимо и достаточно, чтобы эта точка имела максимальный отрезок (а, Ь) ранга s такой, что a О < Ъ.
