Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимость условия. Пусть P ? K8 и п есть наименьшее целое положительное число, для которого ц.? (P) > ?, так что W^S. Тогда отрезок (0, п) будет собственным отрезком точки Р, и единственный максимальный отрезок ранга s, который содержит его, удовлетворяет условиям леммы.
Достаточность условия. Предположим, что точка P имеет максимальный отрезок (а, Ь) ранга s такой, что a ^ О < Ъ. Докажем, что (P) > ?- Отсюда будет вытекать, что P ? К$, поскольку b ^b — a ^ s.
Если а = 0, то неравенство р,ь (P) > ? немедленно следует из того, что отрезок (а, Ь) является собственным отрезком точки Р. Предположим, что
446
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл, XXII
а < 0. Если u.§ (P) ?, то существует собственный отрезок (О, Ъ'), где Ъ' > Ъ, и он частично перекрывает отрезок (a, b). Но это невозможно в силу леммы 3. Следовательно, р,ь (P) > ?, и лемма, таким образом, доказана,
§ 22.13. Доказательство эргодической теоремы; первый этап. Для величин, связанных с максимальными отрезками ранга s, a 0 < Ъ (лемма 5), удобно ввести новые обозначения. Положим
а = —р, Ъ — a = q. (22.13.1)
Так как
а < О, Ъ — а < s, (22.13.2)
то будем иметь
0<p<g<s. (22.13.3)
Всякой паре целых чисел (р, q), удовлетворяющих неравенству (22.13.3), поставим в соответствие подмножество Kpq тех точек множества K8, которые связаны с отрезком (—р, —р + q) в смысле леммы 5. Заметим, что подмножества Kpq, соответствующие различным парам целых чисел (р, q), не имеют общих точек. Через р единиц времени множество K0q переходит в множество
TPKoq = Kpq, (22.13.4)
так что
mKoq = тКРЧ. (22.13.5)
Далее, для любой суммируемой функции ф (P) имеем
J ф(P)dV= J <p(Pp)dV. (22.13.6)
Kpq K0q
С помощью этих соотношений находим
s g — 1 s q— 1
Ks g=l P=O Kp9 g=l p=0 K0g
s q— 1 1 s q~ 1 P+l
= 2 2 J'dv \ f(pP+t)dt= 2 2 J^j f(Pt)dt=
g=l p=0 AT09 0 9=1 P=O AT0? p
s g s s
= 2 [ dV j /(W = 2 J q№(P)dV>$^iq(mKoq) =
5=1? 0 9=1 A-Qg 9=1
s g— 1
= ? 2 2 mtfpe = ?(rotf.). (22.13 7)
g=l p=0
До сих nop s считалось фиксированным целым положительным числом. Но равенство (22.13.7) остается в силе для всех достаточно больших s, и, устремляя s к бесконечности, находим
к
Pl(P) dV>$(mK). (22.13.8)
Проведем теперь аналогичные рассуждения для нижнего предела области а (лемма 1). Поскольку
lim H1J(PX а, (22.13.9)
§ 22.14]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ; ВТОРОЙ ЭТАП
447
мы можем совершенно так же доказать, что
\ lil(P) dV ^Ca (тК). (22.13.10)
к
Но соотношения (22.13.8) и (22.12.10) противоречат друг другу, так как а < ?, из чего заключаем, что предположение, что
т (L) > 0,
неверно. Иными словами, величина li" (P) стремится к пределу ср (P) почти для всех точек, P множества Q.
§ 22.14. Доказательство эргодической теоремы; второй этап. Теперь нам остается доказать, что величина Li^ (P) стремится к пределу и в том случае, когда Ъ растет до бесконечности, изменяясь непрерывным образом.
Для этого нам потребуется рассмотреть среднее значение функции | / (P) \ на отрезке характеристики, проходимом изображающей точкой за время между моментами t = п и t = п + 1; оно равно
п+1
On (P) = j \f(Pt)\dt. (22.14.1)
71
Замечаем сразу, что
On (P) = O0 (Pn). (22.14.2)
Докажем следующую лемму.
Лемма 6. Отношение Qn (P)In при п, стремящемся к бесконечности, стремится к нулю почти для всех точек P множества Q. Пусть е — произвольное фиксированное положительное число, а п — целое положительное число. Обозначим через Еп< п множество точек Q, для которых
Qn (P) > гп, (22.14.3)
и пусть Еп> 0 — множество точек Q, характеризуемых неравенством
O0 (P) > en. (22.14.4)
Преобразование Tn, определяющее перемещение изображающей точки за время t = п, переводит множество ЕПі0 в множество ЕПіП, так что
тЕп, п = тЕп> 0. (22.14.5)
Докажем, что ряд
или, что то же, ряд
1]тЕп,п, (22.14.6)
71=1
SmAn, о (22.14.7)
п=1
является сходящимся. Пусть s — целое положительное число. Если Fs есть множество точек О, для которых
se O0 (P)<(s+ 1)е, (22.14.8)
то справедливо очевидное равенство
OO
En, 0= U F8. (22.14.9)
s=n
448
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
Тогда ряд (22.14.7) можно переписать в форме
OO OO OO S оо
2 2 юл = 2 2 m^=2
s= 1 п=\ S=I
оо оо
= {25е(т^)<т2 J %(P)dV<
S= 1 S= 1 5Є < Єо(Р) ;? (8-t- 1) В
1 1
<{ j Q0(P)dV = \ j J |/(Р()|сЙ = А j * J \f{Pt)\dV. (22.14.10)
Й QO О Я
Поскольку область Q инвариантна, а преобразование Tt сохраняет меру, последнее выражение равно
і
-і j dt j I f (P) I tfF = 4 j I / (P) I dV. (22.14.11)
о я я
Ho эта величина имеет конечное значение, так как функция / (P) суммируема в области Q. Сходимость ряда (22.14.6), таким образом, доказана.
Отсюда следует, что все точки Q, за исключением, быть может, точек множества меры нуль, принадлежат не более чем конечному числу множеств En, п (п — 1, 2, 3, . . .). Поэтому почти для всех точек P множества Q можно указать число N = N (P) такое, что для любого и > N будет выполняться неравенство
