Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dF OF
«'f-t-1" '," "-^¦ + -Sr*. (22.18Л9,
dpi др2
и находим четвертый интеграл системы Гамильтона
-^ = *-f const. (22.18.20)
§ 22.18]
ПОСЛЕДНИЙ MHOЖИТЕЛЬ
455
Итак, разрешая уравнения (22.18.4) относительно р±, р2, мы можем составить линейную форму pi dqi + р2 dq2, которая будет точным дифференциалом dK; тогда остальные интегралы будут иметь вид
дК (22.18.21)
Полученное решение весьма примечательно. Оно имеет в точности такую же форму, какая получается при решении задачи с помощью теоремы Гамильтона — Якоби. Связь между двумя этими способами решения обусловлена тем, что К (qu q2, h, а) есть полный интеграл модифицированного уравнения в частных производных (16.5.6).
Во многих конкретных приложениях вторым интегралом является интеграл количества движения, соответствующий циклической координате q2. В этом случае исходными известными интегралами являются
H (Ql, P1, р2) = h, р2 = а, (22.18.22)
и
dK = яр dqt + a dq2. (22.18.23)
Функция яр = op (qt, h, а) находится из решения уравнения
H{quPl, a)=h (22.18.24)
относительно pi:
Pi =ip(gi, h, а). (22.18.25)
Два остальных интеграла определяются с помощью только что доказанной теоремы; они имеют вид
j= j|?-d?i + ?a=-?. (22.18.26)
Пример 22.18А. Центральная орбита; применение полярных координат. Для этой задачи
H = \(pr+±rP%)+V, (22.18.27)
где V = V{г). Имеем интегралы энергии и момента количества движения: H = h, Pe = ос; функция яр имеет вид
Ц(г, h, a) = yr2h-2V-^ = VW)- (22.18.28)
С помощью интегралов (22.18.26) находим известные формулы
t t
'-^=Jw е+И-Ш^' (22Л8-29)
г1 г1
полученные нами ранее в примере 5.2В.
Пример 22.18В. Центральная орбита; применение декартовых координат. Получим теперь решение этой .задачи в декартовых координатах, воспользовавшись правилом Якоби. Имеем
H = ~(u2 + v2) + V. (22.18.30)
Здесь и, V введены вместо рх, Ру. Известными интегралами будут
¦і (и2+ v2) + V = h, (22.18.31)
XV — уи = а. (22.18.32)
456
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
Согласно доказанной выше теореме, если разрешить эти уравнения относительно и *& VVL подставить их в выражение и dx + v dy, то мы получим точный дифференциал dK; остальные интегралы тогда будут иметь вид (22.18.21).
Рассмотрим выражение хи + yv, которое обозначим через у. Тогда будем иметь
и= VL-Z^L, v=y±pL (22.18.33)
Формулы для и и V получаются, если у выразить через х, у, h, а. Имеем
{хи + yvf + (xv — yuf = г2 (u2 4- г;2). (22.18.34)
Используя (22.18.31), получаем
72 = r2(2fe-2F—= r2/(r). (22.18.35)
Теперь находим
dK = Гх~ау dx+ Гу + а* dy, (22.18.36)
где через Г обозначено г]/7 (г). Окончательно получаем
dK = VW)dr+ad<d, (22.18.37)
что совпадает с полученным ранее решением.
Пример 22.18С. Сферический маятник. Пользуясь сферическими координатами (см. § 5.3) и опуская постоянное слагаемое mga в выражении для L, получаем
H = ^ (pi +^pi)+ cosQ, (22.18.38)
где п2 = g/a. Известными интегралами будут
H = h, P4, — а. (22.18.39)
Пользуясь обозначением (22.18.25), запишем функцию ар в виде
яр (9, А,а) = |/со80)-^ = // (9). (22.18.40)
Функция К будет иметь вид
K= j УТЩае + ау. (22.18.41)
Интегралы (22.18.26) примут форму
0 ~ »2 J VTW) ' н J VJW)
Полученные результаты совпадают с формулами § 5.3. (Чтобы в этом убедиться, достаточно вместо аа написать 2а/ге2.)
(22.18.42)
Глава XXIII
ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 23.1. Уравнения в вариациях. Уравнения движения механической
системы (например, уравнения Гамильтона) имеют форму (19.1.1): х = X. В этой главе мы начнем с рассмотрения автономных систем, для которых Х = Х(х). Записывая уравнения для составляющих, получаем систему в форме (21.1.3):
Xf = Xr (X1, х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., т. (23.1.1)
Функции ХТ принадлежат к классу C1 в некоторой области D пространства х. Уравнения (23.1.1) определяют движение изображающей точки в т-мерном пространстве (X1, х2, . . ., хт). Если эта точка начинает свое движение из точки а области D в момент t = 0, то ее положение в момент t, а < t < Ъ, будет определяться уравнениями вида х = tp (t; а) или, в обозначениях (21.1.4),
хг = Cp7. (t; а1; аг, . . ., ат), г = 1, 2, . . ., т. (23.1.2)
Функции ср,- имеют непрерывные первые производные dtffldt, dq>r/das в области Е, определяемой условием
а ? D, а < t < Ъ.
Вторые производные д2уТ1дР, d2yrldt das = d2(pr/das dt также будем считать непрерывными в указанной области (§ 19.1). Решение задачи состоит в определении функций ср,.. Эти функции удается найти лишь в немногих простых случаях. В общем случае решение в этом смысле получить не удается, хотя во многих астрономических приложениях можно получить приближенные решения с высокой степенью точности.
Поскольку во многих задачах не представляется возможным получить явные выражения для функций Cp7., важно указать те классы задач, решение которых облегчается, если использовать некоторые упрощающие обстоятельства. Важной проблемой является задача построения характеристик, расположенных в окрестности заданной характеристики. При этом нам известны величины ос для всех положительных значений t при определенном заданном значении начальной точки а, но нам неизвестны функции фг для какого-либо-интервала значений а. Задача заключается в том, чтобы определить, точно-или приближенно, характеристику, начинающуюся в точке о -f 6, близкой к точке а.
