Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
^ = |Ь Р'^-Щг' г=\,2,...,п. (22.1.2)
Определению подлежат 2п функций от t:
Чи 42, - - -, Сіп! Pi, р2, ¦ ¦ -, Pn-
Здесь
хг = Qr, хп + Т = Pr, T = 1, 2, . . ., п. Имеем 2п функций ХТ'-
дН дН дН . _ дН_ _Ш ___ дН
"Op1 ' др2 ' " ' '' дРп ' Og1 ' — дд'2~' ' ' '' ддп '
так что
Y - дН дН г—і 9 г,
Лг —0^7' Л"+г- "о^Г' и.
В автономном случае, с которым нам придется чаще всего иметь дело, функция H не содержит t:
H = H (qi, q2, . . ., qn; ри р2, . . ., рп). (22.1.3)
Предполагается, что H ? C2 в области D пространства переменных (gl5 q2, ...
¦ • •, qn; Pi, Pz, ¦ ¦ -, Pn)-
Как уже указывалось в § 10.14, если система автономна, то H является ее интегралом. Доказывается этот важный факт весьма просто. Имеем
-аТ= ^ [IgV^ + -OpT Рг)- {22ЛЛ)
В силу уравнений (22.1.2) это выражение равно нулю. Итак, H = const = h во все время движения. Траектории располагаются на поверхностях H = п. Гамильтоновы уравнения движения можно записать в матричной форме:
X = ZBx, (22.1.5)
где X — матрица-столбец, или вектор с составляющими {qu q2, qn;
, „ Г дН дН дН дН дН дН Л
Pl, р2, рп}, ІГЯ-вектор {-=-, -=-, ; ж, ^j1
a Z — матрица размером 2п X 2п:
{-in о
(22.1.6)
§ 22.2]
СКОБКИ ПУАССОНА
433
Матрица Z удовлетворяет очевидным равенствам
Z=Z1= -/., \Z\ = 1. (22.1.7)
§ 22.2. Скобки Пуассона. Интегралы F уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению
^ + SlF = O. (22.2.1)
Входящий сюда линейный оператор Q определяется формулой
S = S (22.2.2)
4-і \ Oy7. дрг дрг dgr j ZJ d (дг, Рг) к >
г— 1 г= 1
Если u-av — функции от (qu q2, . . ., qn; pt, р2, . . ., рп; t), принадлежащие классу C2, или, сокращенно, функции от (q; р; t), то выражение
2Й. <22-2-3>
г=1
представляющее собой сумму определителей Якоби, называют скобкой Пуассона и обозначают через (и, v). Таким образом,
QF = (F, H), (22.2.4)
и интегралы уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению
JL+(F, H) = O. (22.2.5)
Собственно уравнения Гамильтона также можно записать с помощью скобок Пуассона:
хт = Qxr = (хт, H), г = 1, 2, . . ., 2га. (22.2.6)
Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике. Познакомимся с их основными свойствами. Пусть и, V, w — функции от (q; р; t) класса C2, а с — некоторая постоянная. Скобки Пуассона обладают следующими очевидными свойствами:
(и, и) = (и, с) = (с, и) = О,
(v, и) = ( — и, v) = (u, — V)= — (и, v), ^ (22.2.7)
При использовании скобок Пуассона нужно помнить, что существенное значение имеет порядок записи переменных: (v, и) = — (и, v).
Наиболее важное свойство скобок Пуассона выражается теоремой, известной под названием тождества Пуассона или тождества Якоби:
(и, (v, W)) + (V, К и)) + (w, (и, V)) = 0. (22.2.8)
Для доказательства заметим прежде всего, что если А и В — два линейных оператора вида
А1-ЪА--&7' В/-БВ'^ (22-2.9)
Г=1 T=I
с коэффициентами A1., B1. класса C1 и если функция / ? C2, то выражение
ABf — BAf (22.2.10)
28 л. А. Парс
434
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
зависит линейным образом от первых производных функции / и не содержит вторых производных этой функции. Если теперь написать подробные выражения для скобок Пуассона в левой части тождества (22.2.8), то мы увидим, что каждое из слагаемых представляет произведение двух производных первого порядка и одной производной второго порядка. Поэтому достаточно доказать, что коэффициент при каждой из вторых производных равен нулю. Рассмотрим вторые производные функции и; они содержатся в первом и третьем слагаемых суммы (22.2.8). Кроме того,
(v, и) = Vu, (w, и) = Wu,
где VmW — линейные операторы указанного выше типа. Имеем
(v, (w, и)) + (w, (и , v)) = (v, (w, и)) — (w, (v, и)) = VWu — WVu.
(22.2.12)
Правая часть не содержит вторых производных функции и, откуда и следует теорема.
§ 22.3. Теорема Пуассона. Если ср, гр — интегралы уравнений Гамильтона, принадлежащие классу C2, то (ср, гр) также является интегралом. Доказательство весьма простое. Имеем
-§-+(<р, H) = O, -^+(гр, 7/) = 0. (22.3.1)
Следовательно,
А (ф, гр) + ((ф, гр), H) = (? , гр ) + (<р, Щ + ((<р, гр), H) =
= -((ф, H), ф)-(Ф> (?, Я))+((ф, гр), Я) =
= (?, (ф, H)) + (ф, (Я, ?)) + (Я, (?, ф)). (22.3.2)
Согласно тождеству Пуассона (22.2.8) полученное выражение обращается в нуль. Таким образом, (ф, гр) представляет собой интеграл.
Теорема Пуассона не столь плодотворна, как это может показаться на первый взгляд. По двум известным интегралам можно определить третий интеграл, затем четвертый и т. д. Однако в ряде случаев вновь получаемый интеграл оказывается тождественным нулем или зависит от уже найденных интегралов. Очевидно, что процесс составления новых интегралов не может продолжаться до бесконечности, поскольку существует не более 2п независимых интегралов.
Предположим, что II не содержит t и, стало быть, представляет собой интеграл. Если ф есть другой пространственный интеграл, то скобка (ф, H) тождественно равна нулю, и теорема Пуассона в этом случае ничего нового не дает. Если же ф есть интеграл, зависящий от t, то
