Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Равновесие называется устойчивым, если для заданного є > 0 можно указать такое положительное число х = х (є), что если R (0) < х, то R (кх) < < є при всех целых положительных значениях к.
Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если R (0) < х, то R (kr) ->¦ 0, когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения.
Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Иными словами, равновесие является неустойчивым, если можно указать положительное число х такое, что существуют траектории, начинающиеся в произвольной близости от точки О и такие, что для некоторого целого положительного к выполняется неравенство R (кх) > х.
Введенное ранее (в § 21.11) понятие устойчивости можно условиться называть С-устойчивостью (имея в виду непрерывное изменение t), а новое понятие устойчивости — D-устойчивостью *) (имея в виду дискретный характер изменения І).
Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же: С-устойчивость означает D-устойчивость, а D-устойчивость означает С-устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть х (t), как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке х (0). Если в момент t = 0 изображающая точка находится в положении х (0), то в момент t она занимает положение x(t). За промежуток времени 0 ^ t изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть т-сегментом, начинающимся в ас (0). Возьмем положительное число г, и пусть S (г) будет множеством точек всех т-сегментов, начинающихся в точках ас(0) внутри гиперсферы радиуса г, описанной вокруг точки О. Пусть г' будет верхней гранью расстояний точек множества S (г) от точки О. При указанных условиях г' будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от г, обращающейся в нуль вместе с г. Положим г = f (r'); функция / (г) непрерывна и монотонно возрастает, причем / (0) = 0 и 0 < / (r') г', если г' > 0. (В частном случае линейного приближения / (r') = Kr', причем К = const и 0 < К < 1.)
Эквивалентность двух понятий устойчивости теперь почти очевидна. Тем не менее приведем формальное доказательство.
*) Автор образует эти термины из первых букв английских слов «continuous»— непрерывный и «discrete» — дискретный. (Прим. ред.)
422
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
Устойчив ость. То, что С-устойчивость означает D-устойчивость, очевидно. Остается доказать, что из D-устойчивости следует С-устойчивость. Предположим, что имеет место D-устойчивость. Возьмем положительное число є, и пусть х (є) есть число, фигурирующее в определении D-устойчивости {т. е. такое, что если R (0) < х, то R (кх) < є при целых положительных значениях к). Положим х' = / (и) и выберем точку х (0) так, чтобы | х (0) | < <х'.
т-сегмент, начинающийся в точке х (0), расположен внутри сферы радиуса х вокруг точки О. Тогда траектория, начинающаяся в точке х (9), где
0 ^ 9 < т, при всех целых положительных к обладает тем свойством, что
1 X (9 + кх )I < е. Поэтому, если | х (0)| < х', то при всех положительных t выполняется неравенство \х(і)\<Сг, откуда следует С-устойчивость.
Асимптотическая устойчивость. То, что асимптотическая С-устойчивость означает асимптотическую D-устойчивость, очевидно. Остается доказать, что асимптотическая D-устойчивость означает асимптотическую С-устойчивость. Предположим, что имеет место асимптотическая D-устойчивость, и пусть х есть число, фигурирующее в ее определении (т. е. такое, что если R (0) < х, то R (кх) —>- 0, когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения). Положим х' = / (х), и пусть X (0) есть любая точка такая, что | х (0)| < х'.
т-сегмент, начинающийся в точке х (0), расположен внутри гиперсферы радиуса х вокруг точки О. Тогда траектория, начинающаяся в точке х (9), где 0 ^ 9 < т, обладает тем свойством, что | х (9 + кх) \ —> 0, когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения. Поэтому, если I sc (0)| < х', то I X (t) I-> 0 при ?-> +оо, откуда следует асимптотическая С-устойчивость.
Неустойчивость. То, что D-неустойчивость означает С-неустой-чивость, очевидно. Остается доказать, что С-неустойчивость означает D-неустойчивость. Предположим, что имеет место С-неустойчивость. Тогда существует положительное число X такое, что, как бы мало ни было є > 0, можно указать точку х (0) такую, что если \ х (0) | < є', є' = / (є), то для некоторого 6 из интервала 0 ^ 9 ^ х выполняется неравенство | х (9 -f > х, где к — целое положительное число, т-сегмент, начинающийся в точке JC (0), расположен внутри гиперсферы радиуса е вокруг точки О, так что расстояние между точками х (Q) и О меньше заданного числа е. Через к шагов точка X (Q) окажемся, однако, за пределами окружности радиуса х с центром в точке О, откуда и следует D-неустойчивость.
