Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 21.16А. Маятник на упругой нити. Эта задача отличается от обычной задачи о колебании маятника тем, что неупругая нить заменена упругой, подчиняющейся закону Гука. Система имеет две степени свободы и тп = 4.
Пусть а — длина нерастянутой струны, а (а + с) — длина растянутой струны в положении статического равновесия. Если г — длина струны в некоторый момент г1, а 0 — угол ее отклонения от направленной вниз вертикали,
§ 21.16]
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
429
то кинетическая и потенциальная энергии системы запишутся следующим образом:
Т = \(г2 +,-292)^ A^+J..^ (21.16.1)
V = -gr cos 9 + -^- (г—а)\ (21.16.2)
где импульсы Pr и ре обозначены соответственно через ? и т]. Функция Гамильтона равна T + V, а уравнения движения Гамильтона имеют вид
2 . І (21.16.3)
i = -7T + ?cos6 —-f(r —я), 1I= —grsin9. J
В положении равновесия 9 = | = г| = 0, г = я + с; положив г = а-\-с-\-s, мы придем к следующим уравнениям линейного приближения:
1 [ (21.16.4)
I=—ц=-д(а+с)в. )
Как и следовало ожидать, собственные значения равны ±i j/""f"
и± -^~с* (В данном случае нет необходимости вычислять определитель четвертого порядка, поскольку уравнения линейного приближения распадаются на две группы, одна из которых содержит только s и ?, а другая — только 9 и я; в самом деле, имеем
V + -Js = O, O+-^-O = O.) (21.16.5)
Рассмотрим теперь точное поле F. Потенциальная энергия V имеет минимум V0 в положении равновесия. При малых положительных значениях є кривые V= V0 + є представляют собой простые замкнутые выпуклые кривые вокруг точки равновесия г = а -\- с, 9 = 0. Если постоянная энергии равна V0 + е, то в течение всего движения будем иметь
V - F0 ^ е, T < є, (21.16.6)
так что частица не выйдет за пределы кривой V — F0 + є, и кинетическая энергия будет оставаться малой. Поэтому будут малы и величины 0, s, |, т], откуда следует, что равновесие является устойчивым.
В явной форме уравнение кривой V = F0 + є записывается в виде
r(l — cos Q)+ -L-(г-b)2 = -L--k2, (21.16.7)
где 6 = а + с и г = gk2/(2c).
Экстремальные значения г па кривой достигаются при 9 = 0 и равны b + к. Что касается значений 9, то они заключены между пределами ±0О, которые определяются из уравнения
l-cos90= b-Vb»-k- (21.16.8)
если
г = Уъ2 — й2, то 0 =+ 90). Если груз подвешен на струне, а не на
430
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XX]
пружине, то при k<ic струна будет, разумеется, натянута во все время движения. Кривые (21.16.7) для значений А/с = 1/2, 1, 3/2, 2 представлены нн
рис. 99. Введем прямоугольные координаты и, v, начало возьмем в положении равновесия, а ось и направим вертикально вниз. В этих координатах уравнение (21.16.7) запишется в виде
[2 (Ъ — с) (г - и) = и2 + V2 + 2Ъ2 - 2Ъс - к2 (21.16.9)
или
и2+ т V2 = к% - Ж uv% + -Ш V2 (4"2 - ^2) -
(21.16.10)
Пример' 21.16В. Рассмотрим систему, для которой тп = 4, а функция Гамильтона имеет вид
Я = -± п (ql + Pl) - п (q22 + pi) + \ a [q\q2 - q2p\ - 2qlPlp2). (21.16.11)
Параметры п и а будем считать вещественными и положительными. Уравнения движения будут иметь вид
Qi = Kp1- oc(?iP2H- q2Pi), g2 = — 2np2 — aq1p1, P1 = — Hq1 — а (д^з — P1P2), p2 = 2nq2—^a{q\ — p\).
(21.16.12)
(21.16.13)
Собственные значения матрицы линейного приближения F0 равны + in, ± 2т, и движение определяется следующими формулами:
qi = щ cos nt+ Ь1 sin nt, g2 = а2 cos 2nt — b2 sin 2nt, P1 = b1 cos nt — CL1 sin nt, p2 -. b2 cos 2nt -f- a2 sin 2nt, j
где at, a2, bt, b2 суть значения glf g2, P1, P2 при Z = 0. Решение можно записать также в виде
^1 = Л sin (nZ + ?), g2 = i5sin(2rcZ + Y), 7>t = Л cos (иг +?), р2= — jBcos(2wZ + v).
(21.16.14)
§ 21.16]
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
431
Все полученные орбиты периодичны с периодом 2л/п, и особая точка по первому приближению устойчива.
Рассмотрим теперь точное поле F. Уравнения (21.16.12) удовлетворяются функциями
Pi =
У2
a (t — t0) а (t — t0)
sin (nt + б), q.2 = cos (nt+ 6), P2-
1
cc(t —t0) 1
a (t — to)
sin 2 (nt + 6), cos 2 (nt +8)
> (21.16.15)
при всех значениях t0 и б. Если t0 велико, то в момент t = 0 изображающая точка находится вблизи от точки О, но для значений t, близких к t0, она отстоит от точки О на большом расстоянии. Точное поле показывает, что особая точка неустойчива. Рассмотрим конкретный пример. Пусть в момент t = О Qi = Q2 = Pi =—а, р2 = 0. Решение дается формулами (21.16.15), в которых at0 = На и б = я/4:
Qi-
Pi'-
1
a (t—t0) 1
(cos nt +sinnt), q2 =
1
(cos nt— sinnt), ро-
сс (t — tQ) 1
a(t—10) v~— —¦--/> a(t-t0)
К этой задаче мы вернемся позже, в § 30.4.
cos 2nt, sin 2nt.
(21.16.16)
Глава XXII УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 22.1. Уравнения Гамильтона. В предыдущей главе мы рассматривали систему дифференциальных уравнений
х\ = Хт, г = 1, 2, . . ., т. (22.1.1)
К этой форме различными способами можно привести уравнения движения голономной системы с тг степенями свободы (т = 2п). Наиболее важную роль играют уравнения Гамильтона
