Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Il dXl + I2 dx2 + ¦ ¦ ¦ + Im dxm> (22.5.10)
причем каждая из функций |r (X1, х2, . . ., хт) принадлежит к классу C1. По теореме Пфаффа форму со путем надлежащего выбора переменных можно привести к одному из следующих видов:
Pi dqi + р2 dg2 + . . . + pvdgB (22.5.11)
или
Pi Agi + р2 dg2 + . . . + pvdgB + dgv+i, (22.5.12)
в зависимости от того, является ли класс формы со четным (2v) или нечетным (2v + 1). Если форма со неособенная, то ее класс равен т; если форма со особенная, то ее класс меньше т.
Перейдем теперь от переменных X1, х2, . . ., хп к новым переменным gi, q2, ... ¦ ¦ • , Чп' Pu Рг, ¦ ¦ ¦ , РП' если т четное (2п), или к переменным gi, д2, ... , дп; pi, р2, ..., рп;
<7п+ь если т нечетное (2п + 1). Тогда (V) ^ Prdgr будет относительным интегральным
Л г==1
инвариантом для преобразованных уравнений, и в новых переменных 2v дифференциальных уравнений могут быть записаны в гамильтоновой форме.
§ 22.6. Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. § 21.8, п. 3), что объем (протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, «фазовая жидкость несжимаема». В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию
QM == (Mt H) = 0. (22.6.1)
Если M — пространственный интеграл, то интеграл j M dV является абсолютным интегральным инвариантом порядка 2п. Это следует из § 21.8, п. 3. (Мы здесь для краткости через j M dV обозначили интеграл
jj . . . j Mdgi dq2 . . . dqn dpt dp2. . . dpn.)
§ 22.7. Теорема возвращения (теорема Пуанкаре). Рассмотрим автономную систему
хг = Хг, г = 1, 2, . . ., т, (22.7.1)
обладающую двумя следующими свойствами:
1) A=O, т. е. объем пространства переменных инвариантен относительно преобразования Tt, определяемого решениями уравнений (22.7.1) (иначе говоря, «жидкость несжимаема»). Как отмечалось выше, в наиболее интересном для нас случае уравнений Гамильтона это условие выполняется.
2) Существует замкнутая область Q конечного объема mQ такая, что начинающиеся в ней характеристики целиком располагаются в ней («жидкость движется в замкнутом сосуде»). Такая область преобразованием Tt переводится в самое себя и поэтому называется инвариантной областью.
Теорема Пуанкаре устанавливает, что если а есть любая сколь угодно малая замкнутая подобласть области Q, то существуют характеристики,
440
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
которые бесконечное число раз пересекают область а. Точнее, для любого сколь угодно большого значения ti можно указать такие движения системы, при которых изображающая точка для некоторого t > ti окажется в области а.
Для доказательства возьмем какую-нибудь замкнутую подобласть А области Q и рассмотрим изображающие точки (или частицы жидкости), которые в момент t = 0 лежат в А. Пусть в момент t = 0 > 0 эти точки образуют множество В, так что В = TqA. Множество В можно считать 0-образом множества А, а множество А — 0-прообразом В (см. § 21.12). Если А задано, то множество В однозначно определяется числом 0, и наоборот, если задано В, то множество А однозначно определяется значением 0. Более того, поскольку движение является установившимся, изображающие точки, лежащие в момент t = t0 в А, в момент t = t0 + 0 располагаются в В, и наоборот, точки, лежащие в момент t = t0 в В, в момент t = t0 — 0 располагаются в А.
Рассмотрим теперь заданную замкнутую подобласть а и возьмем какое-нибудь положительное число т, например т = 1. Обозначим (т, 2т, Зт, . . .)-прообразы а через а4, <х2, а3, . . . Все множества а, осі, а2, а3, . . . имеют одинаковый объем та и содержатся в множестве Q. Если N > mQ/ma, то области ос, at, сс2, . . ., aN_i не могут не иметь общих точек. По крайней мере одна пара таких областей, скажем аТ и as (г > s), будет иметь общую часть ?, объем которой wi? отличен от нуля.
Отсюда следует, что и области а и ap (р =- г — &¦) имеют общую часть а' того же объема wi?. В самом деле, область ар является sT-образом области аг, а область ос — «т-образом области as.
Возьмем теперь в качестве исходной области вместо а область а' и снова повторим предыдущие рассуждения, приняв тот же основной интервал времени т, что и выше. Тогда найдется такое целое число р', что а' и его р'х-прообраз сер' будут иметь общую часть а" конечного объема.
Продолжая таким образом, мы можем построить совокупность вложенных областей a, ос', ос", . . ., каждая из которых содержится в предыдущей. Эта последовательность сходится к предельному множеству X, которое представляет собой либо точку, либо замкнутую область и принадлежит всем областям ос, ос', а", . . . Области a, а', ос",. . . обладают тем свойством, что изображающие точки, лежащие в момент t = t0 в области аіП+1\ в момент t = t0 + р^П)г располагаются в области a(Tl).
Рассмотрим теперь характеристику, начинающуюся в точке P0 области X; изображающая точка P в момент t = 0 находится в положении P0. Поскольку точка P в момент ? = 0 лежит в области а', в момент t = рх она будет находиться в области а. Аналогичным образом, если в момент ? = 0 точка P лежит в области а", то в момент t = р'х она окажется в области а' и, следовательно, в момент t = (p' + р") т попадет в область а. Находясь в момент t = 0 в области а"', изображающая точка в момент t = р"х попадет в область а", в момент t = (p' -f- р") х — в область а' и в момент (р + + Р' + Р") т — в область а. Продолжая эти рассуждения, мы приходим к выводу, что точка P находится в области а в следующие моменты времени: t = 0, t = рх, t = {р + р') х, t = {р + р' + р") X и вообще при t = (р -\-4- />'+• • ¦+/?(П)) С ростом п сумма (p + />'+• • -+Р(ге)) стремится к бесконечности, поскольку все р — целые положительные числа. Изображающая точка бесконечное число раз возвращается в область а, что и требовалось доказать.
