Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы доказали эквивалентность двух определений устойчивости и в дальнейшем можем не делать различия между С-устойчивостью и D-устойчивостыо, а говорить просто об устойчивости. Для того чтобы установить устойчивость какой-либо конкретной механической системы, можно воспользоваться любым удобным критерием, считая переменную t либо непрерывной, либо дискретной. Длительность т основного интервала определяется нашим выбором; в ряде случаев эта величина естественно определяется самой задачей, в иных случаях можно положить х = 1.
§ 21.13. Устойчивость преобразований. Рассмотрим непрерывное преобразование, устанавливающее соответствие между точками х и у; оператор преобразования обозначим через Т:
Tx = у. (21.13.1)
Оператор T определен для точек ас, принадлежащих области D. Во всех рассматриваемых ниже случаях область D содержит начало координат, которое считается неподвижной точкой преобразования TQ = 0. Можно ввести определение устойчивости аналогично тому, как это было сделано в § 21.12
§ 21.13]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
423
при рассмотрении дискретного случая. Грубо говоря, будем считать оператор T устойчивым, если величина | Тпх \ мала, когда мало | х |. Точное определение можно сформулировать следующим образом.
Определяемое оператором T преобразование называется устойчивым (или, иначе, оператор T называется устойчивым), если для заданного є > О можно указать положительное х = х (є) такое, что если | х | < х, то I Тпх I < є для всех целых положительных чисел п.
Преобразование асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если I X | < х, то I Тпх I0, когда п—*- оо.
Если преобразование не обладает свойством устойчивости, то говорят, что оно неустойчиво, т. е. преобразование неустойчиво тогда и только тогда, когда существует положительное число X такое, что можно указать точки х с произвольно малым | х |, для которых I Тпх |>х при некотором целом положительном значении п.
Рассмотрим в качестве примера линейное преобразование
у = Bx, (21.13.2)
где В — неособенная матрица размером m X m с постоянными элементами brs. Предположим, что матрица В может быть приведена к диагональной форме. Введем новые переменные и, v, определяемые формулами х = Си, у = = Cv, где С— неособенная матрица; уравнение (21.13.2) тогда перепишется в виде
v = C-1BCu. (21.13.3)
Выбор матрицы С подчиним требованию, чтобы матрица C1BC была диагональной, элементами этой матрицы M будут собственные значения pi, |г2, ¦ • ., рт матрицы В. Преобразование принимает теперь простую форму V = Ми, r-е уравнение записывается в виде
vT = \iruT. (21.13.4)
Таким образом, r-я составляющая оператора Тпи равна р™иг. Условие устойчивости (а также асимптотической устойчивости и неустойчивости) преобразования следует теперь немедленно. Преобразование, осуществляемое оператором T, является устойчивым, если I рг I ^ 1 при всех значениях г из совокупности 1,2, . . ., т; оно асимптотически устойчиво, если | рг | < 1 при всех этих г, и оно неустойчиво, если I pr I > 1 для какого-нибудь значения г. Приведем еще два примера, оба для преобразования с одной переменной.
Пример 21.13А. Рассмотрим преобразование
Tx = x + х-.
Начало координат является (единственной) неподвижной точкой преобразования; эта точка неустойчива. Обозначим выражение Г»а через xn.
1) Если а > 0, то хп ->-оэ вместе с п. Последовательность а, хи х2, ... монотонно возрастает, и при га > 1
следовательно,
xn > а (1 + а)"
и хп оо вместе с п.
2) Если а = 0, то x1 = х2 =.. . . = 0.
3) Если О > а > —1, то xn —>¦ О при п —>¦ оо. В самом деле, полагая а = —?, находим
x1 = -? (1 - ?).
Отсюда
0> Z1 > — L> — 1
424
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
и аналогично
0 > хп > —1
для всех гс. Последовательность a, X1, х2, . . . монотонно возрастает и ограничена, так что Xn-^-I при гсоо; устремляя гс к бесконечности в уравнении
Xп ~ ^тг—1 "\~ Xn-1,
находим, что I = 0.
4) Если а = —1, то X1 = х2 = . . .= 0.
5) Если —1 > а, то її > О и Xn оо (как в случае 1)).
Таким образом, если О J> a J> —1, то хп ->- О, в противном случае Xn ->- оо. Пример 21.13В. Рассмотрим дробно-линейное преобразование
В общем случае имеются две неподвижные точки ряд, которые определяются как корни уравнения
сх2 -j- (d — а) X — 6 = 0. Величины Xn-1 и хп связаны между собой соотношением
хп — P _ ^ хп-1— P
где
¦1 хп-1— Ч '
cp-\-d
Предположим, что (d — a)2 -f- 46с > О в в •f ii ^ 0. При этих условиях корни р и q вещественны и различны и | Я 1 Ф 1. Числа р ш q можно расположить так, чтобы I X I < 1. Имеем
а—с/
Если а д, то отсюда следует, что Xn ->- р при и —»- оо. Неподвижная точка р асимптотически устойчива, тогда как точка q неустойчива.
В исключительном случае, когда (d — а)2 + 46с >Оиа-(-й = 0, имеем Я = — 1;
ааА-Ъ „
при этом хп = а, если гс — число четное, и Xn =-j—r, если п—число нечетное. В этом
