Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
CCC —j— Ct
случае обе неподвижные точки устойчивы, но ни одна из них не является асимптотически устойчивой.
§ 21.14. Приложение к дифференциальным уравнениям. Вернемся
к системе дифференциальных уравнений (21.1.1): хт = Хт. Эта система автономна. Как и в § 21.11, будем считать начало координат особой точкой. Движение, определяемое этими дифференциальными уравнениями, можно представить с помощью преобразования, осуществляемого оператором Tt (§ 21.3):
x = Tta, (21.3.1)
где а есть значение х в момент t = 0. Фиксируя положительное значение т переменной t, получаем преобразование T = Tx, которое имеет неподвижную точку О. Как было показано, для исследования устойчивости можно выбрать дискретные значения t: 0, т, 2т, Зт, . . . Поэтому устойчивость равновесия в точке О — это то же самое, что устойчивость преобразования Т; аналогичное заключение можно сделать и относительно асимптотической устойчивости, а также относительно неустойчивости.
Рассмотрим линейное приближение к дифференциальным уравнениям
х = Ах. (21.10.2)
При этом мы получим подтверждение найденных выше результатов.
§ 21.15J
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
— ЛЯПУНОВА
425-
Соответствующее линейное преобразование имеет вид
х = Ва. (21.14.1) Матрица В задается формулой (см. (21.10.3))
В = е^А. (21.14.2)
Если Хт — собственное значение матрицы А, то соответствующее собственное значение матрицы В равно ц.г = ех%г. Рассматривая случай, когда матрицы А жВмогут быть приведены к диагональной форме, и обозначая вещественную часть Хг через рг, можно выразить условия устойчивости (неустойчивости) через рг или I Ll7. I.
Устойчивость: рг ^ 0, | p,r | ^ 1 для всех значений г.
Асимптотическая устойчивость: рг < 0, | Li7. | < 1 для всех значений г.
Неустойчивость: рг > 0, | Li7. | > 1 для некоторого значения г.
Эти результаты нами уже были получены раньше, в § 21.11 и в § 21.13.
Если матрицу А не удается диагонализовать, то исследование усложняется. Как мы видели, в этом случае выполнения условия рг ^ 0 (или, что то же, [ Li7.1 1) для всех г уже недостаточно для того, чтобы гарантировать-устойчивость: кратные чисто мнимые собственные значения X1. могут привести к неустойчивости. Но другие условия остаются без изменений. Если все-Pr < 0 (или все І їх,. I < 1), то имеем асимптотическую устойчивость; если хотя бы одно значение рг > 0 (или одно | Li7. | > 1), то имеем неустойчивость. Доказательство см. ниже, в § 23.3.
§ 21.15. Теорема Пуанкаре — Ляпунова. Перейдем теперь от линейного-приближения (для движения в окрестности особой точки О)
х = Ах, (21.10.2)
которому соответствует преобразование
X = Ba,
к точным уравнениям
Xj. =: Xj., T = 1, 2
Им соответствует преобразование х = Тха,
хт = фг (т; осі, аг, • • • , ocm), г = 1, 2, . . , тп. (21.15.1)1
Функции фг будем считать принадлежащими к классу C2.
Собственные значения для линейного приближения к преобразованию х = Та не зависят от выбора координат. Для доказательства перейдем к новой системе координат
У = ^{Х), ? = l|5(0),
причем Ij)(O) = O и все функции і|)г принадлежат к классу C2. Преобразование можно записать в форме y = U$. Пусть А есть матрица для линейного приближения к Т:
і -1дхЛ
\ das I о
(индекс нуль указывает, что значение берется при а = 0). Пусть В—матрица для линейного приближения к U:
В=(ж)о'
а С—матрица
\ dxs j о \ das ) о "
., тп.
(21.14.1) (21.1.1)
426
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
Тогда
откуда следует, что матрицы А и В имеют одинаковые собственные значения и элементарные делители.
Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением только таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу А линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел X являются чисто мнимыми. Если все рг < 0, то равновесие асимптотически устойчиво; если хотя бы одно рг > 0, то равновесие неустойчиво.
Именно такой результат, конечно, и следовало ожидать, учитывая выводы гл. XIX, относящиеся к случаю т = 2. Для этого случая было установлено, что если собственные значения для линейного приближения F0 чисто мнимые, то особая точка поля F0 устойчива; если же рассматривать эту точку как особенность поля F, то можно получить как устойчивость, так и неустойчивость. Чтобы решить вопрос об устойчивости, можно воспользоваться преобразованием T = Tx, как это показано в § 21.14.
1) Асимптотическая устойчивость. Предположим, что все рг < О, І |іг I < 1 (где %r = pr -\- iar — собственные значения матрицы Л, a Lir = ех%* — собственные значения матрицы В). Линейному приближению соответствует линейное преобразование Т:
х = Ва. (21.14.1)
Предположим, что матрицу В можно диагонализировать путем подходящего преобразования, тогда уравнения (21.14.1) можно записать в форме
