Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Будем рассматривать среднее по времени значение функции / (P) на отрезке траектории (например, траектории, начинающейся в точке А), проходимом изображающей точкой с момента t = а до момента Z = Ъ (а < Ъ). Положим
ь
ta(A) = -L--\f(At)dt. (22.9.2)
а
Существование величины \iba (А) почти для всех точек А области Q следует из суммируемости функции / (P) в силу теоремы Фубини. В дальнейшем мы исключим из рассмотрения множества точек А меры нуль, для которых эта величина может не существовать. Основной результат, который составляет содержание эргодической теоремы, заключается в том, что величина ц.ь (А) при Ъ —>¦ оо стремится к пределу ср (^1) почти для всех точек А области Q.
Если, в частности, / (P) есть характеристическая функция области а (т. е. / (P) равно единице для точек Р, лежащих в области а, и нулю для точек Р, расположенных в области Q — а), то ср (А) выражает долю времени, в течение которого изображающая точка, начавшая движение в момент Z = O из положения А, находится в области а.
Прежде всего заметим, что если существует предел ф (А) для какой-нибудь точки А, то существует и предел ср (Aq) для любой точки Aq на траектории, проходящей через А, причем для всех этих точек он имеет одно и то же значение. Для доказательства того, что при заданном фиксированном значении Э существует ср (^4е), покажем, что
е+ь
\ \ 1(At) dt (22.9.3)
е
стремится к пределу, когда Ъ —> оо . Имеем
е+ь в+ь в
і j f(At)dt = ~ j f (At)dt-L j f(At)dt = e о O
е+ь
=m(*M/"><")
O
6
-l^f(At)dt. (22.9.4)
о
§ 22.10]
КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ
443
При Ъ —>¦ оо первый член правой части стремится к ср (А), а второй — к нулю. Таким образом, предел ср (Ав) существует и ср (Ав) = ср (А).
В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ср (P) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ср (P) в области Q,) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике: Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже (§ 22.15).
§ 22.10. Конкретные примеры. Прежде чем переходить к доказательству эргодиче-ской теоремы, приведем несколько примеров.
Начнем с простого случая, когда изображающая точка P движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора ?, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если % (t) есть доля интервала времени от 0 до it, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (b)lb, очевидно, стремится к пределу ?/2n, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени t = 0, т, 2т, ... (§ 22.7) и обозначим через V (п) число точек A, Ax, A2x, '. . ., А(п_1>х,
лежащих в области а, то отношение v {п)1п при ._._._._.
п ->- оо будет стремиться к тому же пределу ?/2n \ \ 10 J J * Я
при условии, что отношение т/2я есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки A, Ax, A2x, . . ., отстоящие на угловых расстояниях 0, т, 2т, ... от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только т не является соизмеримым с 2л.
Рассмотрим теперь простой пример гармонического осциллятора, о котором уже шла речь
в конце § 22.8. Пусть множеством Q будет круг радиуса R с центром в точке О, и пусть А — точка внутри этого круга. Проходящая через А характеристика является окружностью. Доля времени, в течение которого изображающая точка находится в замкнутой области а, стремится к пределу ?/2n, где ? — угол, стягиваемый дугой CD окружности, проходящей через точку А (рис. 100). Предел, как мы видели, не зависит от положения точки А на характеристике. Результат останется без изменений, если взять предел V (п)/п, где V (п) — число точек A, Ax, A2x, . . ., А1п_1)х, лежащих в области а, при условии, что отношение т/2я есть число иррациональное. Результат не зависит ни от положения точки А на характеристике, ни от величины интервала т.
Следует отметить, однако, что в этом случае предел для различных характеристик имеет различные значения: он не остается постоянным во всей области Q.
Предположим теперь, что для рассматриваемой системы функция / (P) не является характеристической функцией области а. Положим / (P) равной q2. Если точка А имеет координаты qi, рь то точка At будет определяться координатами
q = qi cos t + P1 sin t, P= —qi sin ^-J-P1 cos t, и среднее значение функции f (P) на характеристике будет равно
