Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 198

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 290 >> Следующая


г=2'3.....<22А18)

§ 22.5]

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРЕ

437

Но так как H = h есть уравнение второй степени относительно pi, то выражение для гр содержит иррациональность и потому не очень удобно. Если бы исходная функция Гамильтона H не содержала Cy1, то эта переменная не вошла бы и в выражение для гр, и в результате новая система имела бы «интеграл энергии»

гр = P1. (22.4.19)

Этот новый интеграл представляет собой, разумеется, интеграл количества движения, соответствующий циклической координате qi.

Доказанные выше теоремы о понижении порядка уравнений с помощью интеграла энергии можно получить и другим способом, который представляет самостоятельный интерес. Этот способ основан на теореме эквивалентности (§ 16.3). Для определенности остановимся на первом из рассмотренных выше случаев, когда новая функция Гамильтона получается путем решения уравнения H = h относительно переменной ?( (см. (22.4.5)).

Если задачу рашать с помощью теоремы Гамильтона — Якоби, то в решение войдут 2га параметров ar, ?r, где Cx1 есть постоянная энергия А, а ?4 — постоянная t0, связанная с началом отсчета времени (§ 16.5). Тогда будем иметь

п п

У\ prdqr — Hdt=dty+ V ?r (22.4.20)

Г=1 T= і

или, что то же,

Tl Tl

2 Prdqr — Чі dPl = d(y + ht — qiPl) + У] ?r dar Jr(H—h) dt — (t — ta) dh. ' (22.4.21) r=2 r=2

Будем теперь рассматривать не все возможные движения, а только такие, для которых постоянная энергии h имеет одно и то же значение; таким образом, она будет играть роль абсолютной постоянной. Все рассматриваемые траектории будут располагаться на многообразии H = h, и это многообразие теперь будет объектом нашего рассмотрения вместо всего фазового пространства. Имеем

п п

2 Prdqr — qidpi^d^ + ht—qipi)+ ^ ?rd«r- (22.4.22)

г=2 г=2

Согласно теореме эквивалентности переменные q2, ?з> ¦ • •, qn'' Рг> Рз, • ¦ •> Pn удовлетворяют уравнениям Гамильтона с гамильтоновой функцией ^1 и независимой переменной Pi (вместо t). Функцию надлежит представить в форме (22.4.5) с помощью уравнения H = h. Таким путем мы снова придем к желаемому результату.

§ 22.5. Линейный интегральный инвариант Пуанкаре. В этом параграфе

Tl

мы докажем известную теорему Пуанкаре: линейный интеграл <^> ^Pr dqr

r=l

представляет собой относительный интегральный инвариант уравнений

Гамильтона. Доказательство можно провести либо основываясь на общих

рассуждениях § 21.5, либо непосредственно. Пользуясь обозначениями § 21.5

ґ ~ дрг др«

и вводя обозначение a>rs для разности -~ — -~ , напишем следующее соот-

ношение:

K«.) = ^. (22.5.1)

Отсюда

Є'=--І"'-Є"'=-ІГ' г-1,2,...,1,, (22.5.2)

2п

так что форма Пфаффа 2 Qrdxr представляет собой полный дифференциал

г= 1

— dH. Теорема вытекает из § 21.5. Непосредственное доказательство также

438

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

[Гл. XXII

весьма простое; оно проводится либо путем введения параметра и на замкнутой кривой у (как в (21.5.7)), либо путем рассмотрения линейного элемента (как в (21.6.14)). Следуя первому способу и опуская знак суммирования, находим

і

/ = § Pr dqr = j рг if- du. (22.5.3)

v о

Дифференцируя по t, получаем

?-І №?+»?(?)}*•-

о

J [ dqT du ' du у' дрг / dpr ди J

о

= \^(Pr§;-H)du = 0. (22.5.4)

о

Из относительного интегрального инварианта Пуанкаре можно получить абсолютный интегральный инвариант второго порядка:

j j dqx dpt 4- dq2 dp2 + ... -f- dq„ dp„. (22.5.5)

Это следует непосредственно из теоремы Стокса. Интеграл (22.5.5) берется по площади одной стороны двусторонней поверхности, движущейся вместе с жидкостью.

Справедлива и обратная теорема Пуанкаре. Именно, если существует относительный интегральный инвариант prdqr, то 2п переменных qr, рг

удовлетворяют уравнениям, имеющим гамильтонову форму. Для доказательства введем, как и выше, параметр и. Тогда будем иметь

і

-=Ж § P'd*' = і ~w (р>~ "Sr) du~

DI Dt

О

Последний член в подынтегральном выражении справа дает нуль, так как интегрирование производится по замкнутой кривой. Из условия = (отбрасывая параметр и) получаем равенство

<^> prdqT — qrdpr = 0, (22.5.7)

которое выполняется в любой момент вдоль любой замкнутой. кривой.

Отсюда следует, что выражение pr dqr — qr dpr представляет собой полный пространственный дифференциал — dsH, где H = H (q; р; t) *). Таким образом, во время движения величины qr, р,- изменяются так, что

9т = Ж' РГ=~1ІГ' r=l,2,...,n, (22.5.8)

что и требовалось доказать.

*) Символ da означает, что при вычислении дифференциала переменная t в выражении для H считается фиксированной. [Прим. перев.)

S 22.7]

ТЕОРЕМА ВОЗВРАЩЕНИЯ (ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ)

439

Полученный результат показывает, что любая система дифференциальных уравнений вида

xr = Хт, г = 1, 2, . . ., т, (22.5.9)

для которой существует линейный интегральный инвариант, может быть полностью или частично приведена к гамильтоновой форме. Это утверждение тесно связано с теоремой Пфаффа о линейной дифференциальной форме. Предположим, что система имеет относительный линейный интегральный инвариант ф со, где со обозначает форму Пфаффа
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed