Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Иными словами, равновесие в точке О неустойчиво, если существует положительное число к такое, что можно указать характеристики, начинающиеся как угодно близко от точки О и такие, что для некоторого положительного значения Z выполняется неравенство R (Z) > х.
Подобно тому как мы поступали в § 19.4, начнем с рассмотрения линейного приближения, т. е. заменим функции Хг в уравнениях (21.1.1) линейны-
т
ми членами разложений, а именно 2 arsxs. Уравнения тогда примут вид
х = Ах. (21.10.2)
Рассмотрим сначала случай, когда матрицу А с помощью неособого преобразования удается привести к диагональной форме. Осуществляя линейное преобразование яс = Си, приводим уравнения к виду
U = C-1ACu.
(21.11.2)
27*.
420
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
Матрицу С выберем так, чтобы матрица С~ХАС была диагональной матрицей Л, диагональные элементы которой равны собственным значениям ?ц, Я2, . . ., Яш матрицы А. Так как элементы матрицы С могут оказаться комплексными, то и могут быть комплексными даже тогда, когда X вещественны. Обозначим расстояние точки и от начала О через S = = У I Щ ]24- I It2 I2+. . .-f- I ит I2. Величина S мала лишь в том случае, если мало расстояние R, и S = 0 тогда и только тогда, когда R = O. (Как и выше, можно вместо S ввести величину S', равную | щ | + \ U2 |+. • •+I U7n |.) Уравнения (21.11.2) записываются теперь в следующей форме:
ит = lrUr, г = 1, 2, . . ., т. (21.11.3)
Решения имеют вид
иг = а^ы, г = 1, 2, . . ., m, (21.11.4)
где аг есть значение иг при t = 0.
В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в § 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво.
В гл. IX мы рассмотрели несколько с иной точки зрения классическую задачу о малых колебаниях системы около точки g-пространства, в которой потенциальная энергия V минимальна. В свете изложенной выше теории эта задача относится к случаю, когда т = 2п, матрица может быть диагонализирована, собственные значения суть чисто мнимые числа + ipi, ±ip2, ¦ ¦ •, ±ipn и равновесие устойчиво.
Однако иногда исследование устойчивости для случая т > 2 приводит к результатам, отличным от случая т = 2. Предположим, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми); при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены tN cos ?z" и tN sin fit. Формальное доказательство мы отложим до § 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера.
Пример 21.11. Рассмотрим в качестве примера систему (т = 4) ....
Xi = х2, X2 = х3, х3 = хк, xt = —H11Xi — 2ге2.Гз, (21.11.5)
считая п вещественным положительным числом. Собственные значения равны in, in, —in, —in. Решение содержит члены cos nt, sin nt, t cos nt, t sin nt. В явной форме имеем
1 1
X1 =-^- (2 cos nt+nt sin nt) ai + "2^" (3 sin nt — nt cos nt) a2+
1 1
+ -5-5- (nt sinnt) «з+ -5-5- (sin nt— nt cos rei)a4 (21.11.6)
и аналогично для x2 = xu x3 = x2 и X1 = x3. Ясно, что начало координат является точкой неустойчивого равновесия. Пусть, например, Cx1 = а2 = сх4 = 0, тогда
Xi = -^= (nt sin nt) CS3. Положим nt=^./V + -i^ я, где N — целое положительное число, тогда будем иметь
І»І>І*1і=(ЛГ +у) ^5-I «з I -
S 21.12]
ДИСКРЕТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
421
Путем надлежащего выбора TV правая часть может быть сделана сколь угодно большой, как бы мало ни было при этом значение | а | = і Ct3 і.
Отметим, что в данном случае (и во многих других подобных случаях) тот факт, что начало координат О является точкой неустойчивого равновесия, еще не означает, что R (t) принимает большие значения для любых малых значений | а |. Если аз = —n2ccj и сс4 = —п2а2, то имеем
cc2
X1 = cci cos nt~\--si11 и*> X2 - — паї sin nt-\- CC2 cos nt,
X3 = — rc2cci cos nt— noc2 sin nt, xt = n3GCi sin nt— n2a2 cos nt, и неравенство | x | < 8 соблюдается при всех t, если [ a | достаточно мало.
§ 21.12. Дискретная устойчивость. Перейдем теперь от линейного приближения к точным уравнениям (21.1.1). Предположим, что в определениях устойчивости и неустойчивости, данных в § 21.11, допускаются не все неотрицательные значения t, а только дискретные моменты времени 0, т, 2т, Зт, .... где т — раз и навсегда фиксированная положительная постоянная. Точку X (кт) на траектории, начинающуюся в ас (0), называют иногда /ет-образом точки X (0). Если рассматривать только указанные дискретные моменты времени, то мы придем к новому определению понятия устойчивости.
