Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Ф, H)=-^-, (22.3.3)
и мы снова приходим к известному факту (§ 21.1), что dcp/dt представляет собой интеграл.
Но иногда теорема Пуассона позволяет получать интеграл, не зависящий от исходных. В качестве примера рассмотрим движение частицы под действием притяжения к центру О. Сила притяжения пусть будет функцией расстояния г от точки О- Возьмем прямоугольные координаты Q1, q2, #з, начало координат поместим в центре О. Тогда будем иметь
H=\(p\+p\ + pI) + V, (22.3.4)
где V есть функция г. Массу частицы мы положили равной единице. Если
ф4 == q2p3 — q3p2, (22.3.5)
то (фі, H) = 0 и фл есть интеграл уравнений Гамильтона. Аналогично
(22.2.11)
ф2 = ІзРі — QiP 3
(22.3.6)
§ 22.4]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗВЕСТНОГО ИНТЕГРАЛА
435
также есть интеграл. Эти два интеграла суть интегралы момента количеств движения. Согласно теореме Пуассона (фі, ф2) также есть интеграл, и
так как два других определителя обращаются в нуль. Далее,
d(q3, P3) =glP«-g^' (22-3-8>
и новый интеграл есть третий интеграл момента количеств движения.
§ 22.4. Использование известного интеграла. В § 21.2 мы видели, что известный интеграл можно использовать для понижения порядка системы уравнений, т. е. первоначальную систему уравнений можно заменить другой, с числом зависимых переменных на единицу меньше. Если первоначальная система уравнений имеет гамильтонову форму, то можно не только понизить порядок системы, но также и сохранить гамильтонову форму уравнений. Точнее, 2 (п — 1) уравнений новой системы будут иметь форму Гамильтона, а одно уравнение — не будет.
В качестве простого примера рассмотрим интеграл количества движения, соответствующий некоторой циклической координате. Предположим, что функция H не зависит от координаты ^1:
H = H (д2, q3, . . ., qn; ри р2, . . ., рп\ t). (22.4.1)
Тогда величина ^1 остается в процессе движения постоянной:
Pi = Р, (22.4.2)
и система приводится к гамильтоновой с 2 (п — 1) зависимыми переменными: dg2 _ dg3 __ _ dp- dp3
дН' дН' • - - дН' дН'
dt. (22.4.3)
dp?. dp?, dq2 дд3
Функция H' получается из Н, если в последней положить Pi равным ?. Кроме того, мы имеем еще одно уравнение, связывающее координату gj и время t,
а именно tji = J -щ dt.
Если система автономна, то для понижения порядка системы можно использовать интеграл энергии
H (?1, qz, ¦ - ; Чп, Pi, Р2, ¦ • ., Pn) = h. (22.4.4)
Предположим, что координата д4 не является циклической, и пусть уравнение (22.4.4) может быть разрешено относительно qu
Qi = ф (?2. 9з, ¦ ¦ ¦ , Чп, Рг, Рз, ¦ • ¦ , Рп, h; Pi). (22.4.5)
Если эту функцию подставить в соотношение (22.4.4), то получим тождество. Дифференцируя его частным образом по pr (г = 2, 3, . . ., п), получаем
_f_ + Jtf|4L = o. (22.4.6)
dpr dgi dpi- - - \ і
Следовательно,
dH
dqr _ qr _ dpr _ dg> (22 4 7)
dp, • dH dp*. ' \ ¦ ¦ f
P1 __
Oq1
28*
436
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
Аналогично, подставляя функцию ср вместо q1 в соотношение (22.4.4) л дифференцируя по qr (г =2, 3, п), находим
<22-4-8)
Отсюда
dPr Pr ддт _ Эф (22 4 9)
dpi • дН dqr • К • • )
Таким образом, функцию ср можно взять в качестве новой функции Гамильтона с 2 (п—1) зависимыми переменными q2, <7з, . . . , qn\ р2, Рз, • ¦ ¦ ,Pn и независимой переменной pi (роль которой обычно выполняет время t). Новая система уравнений не является автономной, поскольку функция ср содержит новую независимую переменную. Остающимся уравнением является уравнение энергии в форме (22.4.4) или (22.4.5).
Практически преимущества этого метода проявляются тогда, когда функция H линейным образом зависит от ^1. В качестве простого примера рассмотрим случай, когда
Н = \ (І2+ч2)-^1 + (у*8»8- S*) ¦ (22.4.10)
Здесь х, у — лагранжевы координаты, | = рх, т) = ру, a fc, g — положительные постоянные. Если уравнение H = h разрешить относительно х и получить х = ср (у, i\; h; |), то будем иметь
Ф = ^-{(ё-^)2+Ч2}-у- (22.4.11)
Функцию ср можно взять в качестве гамильтоновой функции для системы с одной степенью свободы; зависимыми переменными будут у и т) = Py, а независимой переменной будет ?. Уравнения будут иметь вид
dy ¦= дф _ 1I dl дц g
(22.4.12)
Решение этих уравнений элементарно. Из (22.4.12) и (22.4.13) получаем d*c\ k № dy к &з
--г =---— ---^Tl, 22.4.14)
diz g g dl g gl "
откуда находим
T1 = JL+л cos j l + B sin j l. (22.4.15)
Выражение для у получаем из (22.4.13). На этом решение второй задачи (нахождение у и т) как функций |) заканчивается. Для решения исходной задачи имеем
І = g, I = Io + gt. (22.4.16)
Для ж находим х = ср. (Непосредственное решение также элементарно.)
Аналогичным образом, если разрешить уравнение H = h, например, относительно pi, то получим
Pi = —ty (qz, Яз, • • •> in\ Pz, Рз, ¦ ¦ -, Pn', h; qi). (22.4.17) Рассуждая подобно тому, как это мы делали выше, легко показать, что функцию \|) можно взять в качестве гамильтоновой функции новой системы сп — 1 степенями свободы и с независимой переменной qi'.
