Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 52. Угол ф определяется
_ Г va du ф~3 VT(U)
(17.7.7)
12. A = 0. Как уже отмечалось, это — аномальный случай. Существует лишь одна траектория, розетка, вписанная в окружность г = lib. Ее уравнением будет
і/фг)
0:
dx
(17.7.8)
Для п = 4 (притяжение по закону г~ь) это есть окружность
Г = -г-cos I о
2. 0 <С h < A1. Каждой точке области соответствуют две траектории: розетка при и^u2 и траектория типа гиперболы при и (на рис. 53 показана только траектория второго типа). Гиперболическая траектория имеет внешнее касание с окружностью г = IZu1 и при больших Рис. 53. значениях А и а она близка к прямой.
23. h = A1. Траектория представляет либо окружность г = 11а (движение неустойчивое), либо спираль, наворачивающуюся на эту окружность снаружи или изнутри; в этих случаях имеем лимитационное движение (рис. 54).
3. А > A1. Траектория одним концом уходит в бесконечность, а другим концом идет к притягивающему центру (рис. 55). Предельным случаем является прямая, проходящая через притягивающий центр.
314
системы с двумя степенями свободы
[Гл. XVII
Наиболее примечательным, пожалуй, является тот факт, что при п > 2 все возможные траектории принадлежат, по существу, к одному и тому же типу.
Рис. 54.
Рис. 55.
В следующем параграфе мы укажем точную форму траекторий для случая п = 4.
§ 17.8. Притяжение к центру по закону к/г5. Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию; детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального поля с потенциалом V = —\ilrn уравнения интегрируются при п = —2, —1, 1, 2 в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при п = —6, —4, 3, 4, 6 — в эллиптических функциях. (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда п больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально г-6, т. е. п = 4.
В этом случае имеем
/ (и) = LiW4 — аи2 + h,
причем
A1:
(17.8.1)
(17.8.2)
Критическая кривая h = Zi1 является параболой a2 = 4iife. При иллюстрации теоретических выводов мы ограничимся рассмотрением центральной
области 2 (рис. 51) и ее границ 0 ^ Ji ^ Zi1 или 0 ^ ? ^ , где h = a2?/u..
Нам будет удобно перейти от и к г; тогда уравнения (17.7.1) запишутся в виде
dr
V
«Ё. ,.4-,-2 +JL
fx а
= сіЄ
V2c7
dt
(17.8.3)
^здесь мы без ущерба для общности изменили знак первого радикала).
Рассмотрим траектории для ?, лежащих в области 0 ^ ? ^ = -
12. ? = 0. Дифференциальное уравнение траектории в плоскости гЭ запишется в виде
dr \ 2
(17.8.4)
I 17.8]
ПРИТЯЖЕНИЕ К ЦЕНТРУ ПО ЗАКОНУ й/г°
315
где с = 1/Ь; траектория (типа розетки) представляет окружность
г = с cos 9.
2. О < ? <С -^-. В этом случае
где 0<Г!<Г2,
Г2 —-Ji-
1 2a?
(1-6),
2oc?
(I +б), б = |/ 1 — 4?.
(17.8.5) (17.8.6) (17.8.7)
Имеем две траектории: траекторию типа розетки, расположенную внутри окружности г = T1, и незамкнутую траекторию типа гиперболы, расположенную внє окружности Г = 7*2.
1) Траектория типа розетки; 0 ^ г ^ T1. Применяем подстановку г =
= T1 Sn У, /с = T1)V2,
При этом
r22dn2v, = T1 en V dn у, (17.8.9)
г2 — г2 — Tj en2 V, r\ — r2 = r2dn2f,
и уравнение (17.8.6) принимает вид
(i),-frt-t(1 + '9-tfir-w. ("¦8.1O)
а уравнение орбиты записывается в виде
г = n sn Л8. (17.8.11)
Заметим, что г достигает своего максимального значения T1 при 8 = 90, где
80 = К/К = К + F. (17.8.12)
При /с1 угол 80-> оо і траектория приближается по форме к спирали,
которая при ? -*¦ -^- наворачивается
изнутри на окружность.
Численный пример. Пусть ? = 4/25, к = 1/2, К2 = 4/5. Тогда
К = 1,6857, К = 0,8944,
г* = 4r2 = 5ц/а (17.8.13)
и угол O0 составляет приблизительно 108° (рис. 56).
2) Незамкнутая траектория, г>г2. Для того чтобы закончить
интегрирование, воспользуемся подстановкой, в которой г2 — г\ пропор ционалыю s2/(l — s2), где s = sn г;; вводя соответствующий множитель про порциональности и полагая, как и ранее, к = rjr2, будем иметь
sn2 V
Рис. 56.
Тогда
г2 — г\ = (г| — г2)
сп2 V
1
сп2 V
(17.8.14) (17.8.15)
316
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
dii V ,, „ _ . Л.
г = Ъ— - (17.8.16)
В результате получаем
¦^Ч^^т- <17-8-17>
Подставляя в дифференциальное уравнение траектории (17.8.6), получаем v = XQ. Уравнением траектории будет
г = г,??. (17.8.18)
При 8 -> 0О здесь г-> оо. Траектория, соответствующая указанным выше численным данным, изображена на рис. 56.
Уравнения можно выразить также не через эллиптические функции Якоби, а через ^-функции Вейерштрасса. В уравнении (17.8.6)
(iL\2 = ^H-,2+u (!7.8.19)
полагаем
,3 = JL
a?
(» + -§-) ¦ (17.8.20)
При этом получаем
W0 / - WO / / U^ J ~ \ (X / W9 / _
= 4(У+ТГ) {y2--|-y+(?—|)}=4("-е1)(^-^)^-ез), (17.8.21)
