Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вспомним, что для того, чтобы было возможно движение по эллипсу X = X0, X0 должно быть двукратным нулем функции R. Следовательно, при движении по линии X = X0 > с X0 должно быть двукратным нулем функции L, тогда как при движении по линии X = с (прямая, соединяющая центры притяжения) с должно быть простым нулем функции L. Аналогично, при движении по линии ц = ц0, где I р,о I < с, Цо должно быть двойным нулем функции M, а при движении по линии ц = с (или ц = —с) с (или —с) должно быть простым нулем функции М.
§ 17.11. Ограниченные траектории. Ограничимся рассмотрением случая h < 0. Тогда Xi > с и траектория располагается внутри эллипса X = A1. Если Li1, Li2 вещественны, то Li лежит вне интервала (Li1, Li2). Учитывая это,
Рис. 62. Рис. 63. Рис. 64.
легко представить четыре типа возможных траекторий. В области 1 X1 > A2 > с и движение по координате X представляет либрацию между пределами Xi и A2. В областях 2, 3, 4 A1 > с > X2 и движение по координате X есть либрация между пределами A1 и с. В областях 1 и 2 нули функции M либо комплексные, либо вещественные (в последнем случае Li1 > Li2 > с). Движением по координате Li является либрация между пределами с и —с. В области 3 с > Li1 > Li2 > —с и движение по координате Li может быть либо (а) либрацией между пределами с и Li1, либо (Ь) либрацией между пределами Li2 и—с. В области 4 Li1 > с > Li2 > —с и движение по координате р, есть либрация между пределами Ll2 и —с.
Таким образом, области 1 соответствуют траектории, представляющие собой выпуклые кривые, не обязательно замкнутые, расположенные в кольце между эллипсами X = A1 и X = X2 (рис. 62). Замкнутые траектории и периодические движения мы будем иметь тогда, когда отношение
кг _
I dk/-\/R
Ч-Z (17.11.1)
—с
есть число рациональное.
Области 2 соответствуют траектории, имеющие форму восьмерки, охватывающей оба центра (рис. 63).
Движение, соответствующее области 3, представляет обращение планеты вокруг одного из притягивающих центров (рис. 64). При переходе из области 2 в область 3 траектория, имевшая форму восьмерки, разбивается на две
21*
324
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIT
отдельные кривые, одна из которых исчезает при переходе из области 3 в область 4. В этой последней области планета обращается вокруг притягивающего центра с большей массой (т).
Чтобы закончить классификацию траекторий в случае h < О, следует рассмотреть еще точки границ областей, указанных на рис. 61. Исследование разделим на три части.
1) Кривая 23, разделяющая области 2 и 3, является критической кривой, для которой Ці = (i2; значения двойного нуля лежат между некоторым значением но и с. Функция M имеет два нуля, которые при K1 = с, X2 = се'2в равны и<ъ так что
(17.11.2)
В самом деле, точка А, = с, и = Ио> лежащая на прямой, соединяющей притягивающие центры, является точкой равновесия, поскольку в этой точке
Ут _ _ Т/т+ У_ Ут — Ут*
г г' 2с 2ц
и, следовательно,
Ут—Ут' _е „
H = C-*—-*—=- = се ° = ц0. (17.11.3)
Уго+Уга'
Укажем теперь основные результаты для точек на критических кривых 12, 23, 34, 42.
Критическая кривая 12. В этом случае величины иь \i2 либо комплексны, либо вещественны и больше с; движение по координате и является либрацией между пределами с и —с. Далее, Ai > X2 — с и
R = 2h' {X — с)2 (X + с) (Xi — X),
причем h' = —h > 0. Движение по координате X либо есть движение по линии X= с, либо является лимитационным движением, причем соответствующая траектория подходит к линии Х = с сверху. Первое из этих движений происходит по прямой, соединяющей притягивающие центры, и не является истинной либрацией из-за особенностей поля в центрах. Второе же движение происходит по спирали, лежащей внутри эллипса X = Xi и касающейся его. Все эти орбиты, однако, неустойчивы и на практике не встречаются.
Критические кривые 23, 34, 42. Для этих кривых Xi > с > X2 и движение по координате X есть либрация между пределами Xi и с.
Критическая кривая 23. Для этой кривой с > ні = ц2 > Но и
5 = 2h' (с2 — ц2) (|х — Li1)2.
Движение по координате и либо есть движение по кривой \i = и', представляющей гиперболу, пересекающую ось между центром т' и точкой равновесия, либо является лимитационным движением с любой стороны от этой гиперболы. В первом случае движение носит характер колебаний, ограниченных эллипсом X = Xi. Оба типа движения неустойчивы. Критическая кривая 34. Для этой кривой |ii = c>|x2> — си
S = 2Ы (с - и)2 (Ц + с) (ц2 - н).
В этом случае имеются две возможности, а) Движение по координате ц. может представлять либрацию между пределами ^2 и —с, так что планета будет обращаться вокруг центра т. Орбите этого типа соответствуют точки с обеих сторон от граничной кривой, а также точки на самой кривой; квадратичный член в выражении для M не влияет на характер орбиты. Ь) Движение по координате ц может представлять изолированное устойчивое движение по линии Ц = с; при этом планета является спутником центра т'. Движение по координате X не является истинной либрацией, поскольку спутник сталкивается с массой т .
