Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 133

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 290 >> Следующая


Zn

(o=^Ksdys. (16.14.2)

S=I

По теореме Пфаффа форму со можно представить как форму от п переменных:

п

со= S $rdar, (16.14.3)

r=l

302

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

[Гл. XVI

где ос и ? — надлежащим образом выбранные функции от 7. Эти новые параметры вводятся вместо прежних параметров у, и траектория в фазовом пространстве определяется численными значениями а и ? или численными значениями у.

Пфаффова форма, стоящая в левой части равенства (16.14.1), имеет важное значение в теории движения в фазовом пространстве. Для изучения общей формы Пфаффа

т

Q=J]Xrdxr, (16.14.4)

r=l

где коэффициенты Хг суть функции класса от т независимых переменных хг. х2, . . ., хт, большую роль играет система уравнений Пфаффа

2 arsdxs = 0

S=I

где

дХТ

1,2,

, т, (16.14.5)

er. arr - (16Л4-6>

(Гурса обозначал эту систему через ¦S1.) В нашем случае, когда т = 2п + 1, переменными служат qu q2, . . ., qn; ри р2,

Q = 2 Pr dqr — H dt

T= 1

Кососимметрическая матрица (ars) имеет вид

, рп; t is. форма Q имеет вид (16.14.7)




1


дН -


0

1
1
Og1 дН ддг
дН

-1
-1
— 1

0

дН Op1 дН др2
дН дРп

дН
дН
дН
дН
дН
дН
0

Og1
дЯ2

dpi
дРг
дРп

Уравнения (16.14.5) для пфаффовой формы (16.14.7) записываются в виде дН

dpr--dqr-

¦dt = 0,

дН

дрг

dt = 0,

г = 1, 2, .. г = 1, 2, .,

п,

г= і

(16.14.9)

Первые 2п уравнений представляют уравнения Гамильтона для динамической системы. Последнее уравнение не является независимым от остальных, поскольку определитель матрицы есть кососимметрический определитель нечетного порядка и потому равен нулю. Если функция H не содержит явно t, то последнее уравнение эквивалентно интегралу энергии H = h.

Глава XVII

СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 17.1. Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых4 составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос: каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение? В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат.

Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний (гл. IX), когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на п независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в § 8.11). Однако в общем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свог боды. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этого, пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в § 17.3).

Мы уже рассматривали ранее движение консервативной системы с одной степенью свободы; типичной задачей этого рода является прямолинейное движение частицы в силовом поле. Основное дифференциальное уравнение, описывающее движение частицы (§ 1.2), имеет вид

= /(*),

и, как уже указывалось, о характере движения можно судить по виду функции / (х). Решение основывается на теории дифференциальных уравнений этого вида. В случае одной степени свободы функция / (х) содержит только один параметр, а в общем случае разделимой системы с п степенями свободы мы имеем п параметров, входящих линейно в / (х).

§ 17.2. Условия разделимости переменных в системах с двумя степенями свободы. Мы начнем с рассмотрения важного частного случая систем с двумя степенями свободы и ограничимся изучением ортогональных систем, т. е. таких, для которых выражение кинетической энергии T содержит только квадраты и не содержит произведений. Прежде всего установим необходимые и достаточные условия разделимости, затем, считая эти условия выполненными, получим основные характеристики возможных при этом движений системы.

304

СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

[Гл. XVII

Пусть X и у — лагранжевы координаты. Составим функцию Гамильтона

H = ±{ap% + bp\) + V, (17.2.1)

где a, b, V — заданные функции от х, у; предполагается, что эти функции принадлежат классу C1 в рассматриваемой области изменения х, у. Выведем сначала необходимые условия разделимости. Если система допускает разделение переменных, то модифицированное уравнение в частных производных
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed