Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Zn
(o=^Ksdys. (16.14.2)
S=I
По теореме Пфаффа форму со можно представить как форму от п переменных:
п
со= S $rdar, (16.14.3)
r=l
302
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
где ос и ? — надлежащим образом выбранные функции от 7. Эти новые параметры вводятся вместо прежних параметров у, и траектория в фазовом пространстве определяется численными значениями а и ? или численными значениями у.
Пфаффова форма, стоящая в левой части равенства (16.14.1), имеет важное значение в теории движения в фазовом пространстве. Для изучения общей формы Пфаффа
т
Q=J]Xrdxr, (16.14.4)
r=l
где коэффициенты Хг суть функции класса от т независимых переменных хг. х2, . . ., хт, большую роль играет система уравнений Пфаффа
2 arsdxs = 0
S=I
где
дХТ
1,2,
, т, (16.14.5)
er. arr - (16Л4-6>
(Гурса обозначал эту систему через ¦S1.) В нашем случае, когда т = 2п + 1, переменными служат qu q2, . . ., qn; ри р2,
Q = 2 Pr dqr — H dt
T= 1
Кососимметрическая матрица (ars) имеет вид
, рп; t is. форма Q имеет вид (16.14.7)
1
дН -
0
1
1
Og1 дН ддг
дН
-1
-1
— 1
0
дН Op1 дН др2
дН дРп
дН
дН
дН
дН
дН
дН
0
Og1
дЯ2
dpi
дРг
дРп
Уравнения (16.14.5) для пфаффовой формы (16.14.7) записываются в виде дН
dpr--dqr-
¦dt = 0,
дН
дрг
dt = 0,
г = 1, 2, .. г = 1, 2, .,
п,
г= і
(16.14.9)
Первые 2п уравнений представляют уравнения Гамильтона для динамической системы. Последнее уравнение не является независимым от остальных, поскольку определитель матрицы есть кососимметрический определитель нечетного порядка и потому равен нулю. Если функция H не содержит явно t, то последнее уравнение эквивалентно интегралу энергии H = h.
Глава XVII
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 17.1. Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых4 составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос: каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение? В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат.
Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний (гл. IX), когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на п независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в § 8.11). Однако в общем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свог боды. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этого, пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в § 17.3).
Мы уже рассматривали ранее движение консервативной системы с одной степенью свободы; типичной задачей этого рода является прямолинейное движение частицы в силовом поле. Основное дифференциальное уравнение, описывающее движение частицы (§ 1.2), имеет вид
= /(*),
и, как уже указывалось, о характере движения можно судить по виду функции / (х). Решение основывается на теории дифференциальных уравнений этого вида. В случае одной степени свободы функция / (х) содержит только один параметр, а в общем случае разделимой системы с п степенями свободы мы имеем п параметров, входящих линейно в / (х).
§ 17.2. Условия разделимости переменных в системах с двумя степенями свободы. Мы начнем с рассмотрения важного частного случая систем с двумя степенями свободы и ограничимся изучением ортогональных систем, т. е. таких, для которых выражение кинетической энергии T содержит только квадраты и не содержит произведений. Прежде всего установим необходимые и достаточные условия разделимости, затем, считая эти условия выполненными, получим основные характеристики возможных при этом движений системы.
304
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
Пусть X и у — лагранжевы координаты. Составим функцию Гамильтона
H = ±{ap% + bp\) + V, (17.2.1)
где a, b, V — заданные функции от х, у; предполагается, что эти функции принадлежат классу C1 в рассматриваемой области изменения х, у. Выведем сначала необходимые условия разделимости. Если система допускает разделение переменных, то модифицированное уравнение в частных производных