Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что сумма X + Y, которая, как мы знаем, положительна, ограничена сверху для всех значений х и у или по крайней мере для значений, достигаемых в процессе рассматриваемого движения, т. е. будем считать, что существует постоянная А такая, что для всех t
0<Х + Y^A. (17.3.11)
Тогда т —»- оо вместе с t. В этом случае общий характер движения по каждой координате очевиден. Если, например, начальное значение х лежит между последовательными простыми нулями ах, bt функции R, то изменение х носит характер колебаний между этими значениями ах и Ъ\. Движение такого типа мы будем по-прежнему называть либрацией несмотря на то, что оно уже не является периодическим по t (хотя и периодично по т). Как и в случае
§ 17.3]
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
307
одной степени свободы, знак радикала \/ R в (17.3.5) выбирается положительным, когда X возрастает, и отрицательным, когда х убывает. То обстоятельство, что мы здесь имеем двузначную функцию, нас не должно смущать: это связано с самой сущностью задачи. Если же начальное значение х расположено вблизи двойного нуля с функции R, то при стремлении t (и т) к бесконечности X —»- с; этот случай соответствует лимитационному движению. Аналогичные соображения можно высказать, конечно, и в отношении координаты у.
Рассуждения изменятся, если сумма X + Y не ограничена. Предположим, например, что в рассматриваемом движении X + Y стремится к бесконечности вместе с t. (Обычно это
имеет место, когда х или у обращается в бесконечность вместе с t.) Если интеграл
oo
J ^+Y
сходится, то при t—*- оо переменная т стремится к конечному пределу т0, т. е. «искусственное время» т должно остановиться! Легко сообразить, как следует видоизменить предыдущие выводы для этого случая. Если
начальное значение х лежит
между последовательными про- Рис. 49.
стыми вещественными нулями
а, Ъ функции R, то вместо неограниченно продолжающейся либрации мы получаем, что при t, стремящемся к бесконечности, X стремится к пределу I (a<c^l^b) (быть может, после некоторого числа колебаний). Если же х находится вблизи двойного нуля с функции R, то ж с ростом t стремится к пределу, лежащему в окрестности с. Движения такого типа можно назвать псев-долимитационными движениями.
Если по каждой из координат имеет место либрация и, кроме того, число (х, определяемое формулой
(17.3.12)
рационально, то движение является периодическим. Если ц. = plq, где р ид—-целые числа, не имеющие общего множителя, то после q либрации по координате х и р либрации по координате у система возвратится в первоначальное положение, т. е. примет первоначальные значения координат и скоростей. Период этого движения будет равен
1Iw^Jw*' (17,3J3)
Если ц. есть число иррациональное, то движение не будет периодическим, а траектория будет располагаться вся внутри прямоугольника (at ^ х ^ , а2 ^ У ^ O2) плоскости ху, оставаясь незамкнутой (рис. 49). Такое движение называют квазипериодическим. Более подробное изучение квазипериодических движений связано с введением так называемых угловых переменных. Это исследование мы отложим до рассмотрения общего случая п переменных. (В § 1.3 был указан один простой пример введения угловой переменной для системы с одной степенью свободы.)
20*
308
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. X-VII
Так как обе функции, и R и S, содержат А и а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия; если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В § 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречающейся здесь особенности.
§ 17.4. Классификация траекторий. Мы видели, что общее представление о виде траекторий в пространстве х, у можно получить, изучая вещественные нули функций RmS. Если начальное значение х лежит между двумя последовательными простыми нулями ffli, bi функции R, то в общем случае движение представляет собой либрацию между CL1 и bt; если же х лежит в окрестности двойного нуля функции R, то в общем случае мы имеем лимитационное движение. Аналогичные замечания можно сделать и в отношении другой лагранжевой координаты у. Исключение составляет случай, когда инте-
