Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
№)''+Mt)'} +'-» <"-2-2>
допускает полный интеграл вида
F (х, h, Cx)-T-G (у, h, а), (17.2.3)
где а — вторая произвольная постоянная. Таким образом, в рассматриваемой области значений х, у, h, а тождественно выполняется равенство
т {•(#)'+» (?)"}-*-'• <17-2-4>
Напишем его в упрощенной форме:
аО + Ьср == h — V. (17.2.5)
Здесь 0 = "2\lte / завиСит только от х (а также от п и a), a cp = у ^ зависит только от у (а также от А и а). Из равенства (17.2.5) получаем
а0! + Ьф1 = 1, (17.2.6)
а02 + Ьф2 = 0. (17.2.7)
Индекс 1 в этих формулах обозначает дифференцирование по h, а индекс 2 — дифференцирование по а. Напомним, что величины а и Ъ положительны при всех значениях х, у; они являются коэффициентами в формуле кинетической энергии. Из равенства (17.2.7) видно, что ни O2, ни ср2 не могут тождественно равняться нулю, а из равенства (17.2.6) следует, что величины O1 и Cp1 не могут быть одновременно нулями. Кроме того, выражение
IdF^ dG\
1-Гг JTl QfJ1^ а) Qx Qy Qt]1^ aj \ і
не может тождественно равняться нулю, так как сумма F + G представляет полный интеграл уравнения (17.2.2). Возьмем теперь какие-либо подходящие фиксированные значения A и а; они должны быть такими, чтобы ни одна из величин O2, cp2, O1Cp2 — 02фі не обращалась в нуль при всех значениях х и г/, а также чтобы O1 и Фі не обращались обе в нуль при всех значениях х и у. Затем решим уравнения (17.2.5) — (17.2.7) относительно а, Ъ и V. Тогда •будем иметь
AS1 — 6 feq>i — ф
Г-~Г117Г-Ш- <17-2-9>
q2 ф2
що |, X — функции только от х, а т), У — функции только от у. Эти величины не должны зависеть от выбранных нами фиксированных значений k я а, для чего h я а должны линейно входить в 0 и ф; в дальнейшем мы увидим,что
§ 17.3]
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
305
именно так и обстоит дело. Далее, имеем
62 Cf2 __1_
02 Фг
Здесь P = P (х) и Q = Q (у); функции P и Q также не должны зависеть от принятых значений h и а.
Таким образом, если система допускает разделение переменных, то функция H должна иметь "следующий вид:
Н = 2(Х+Y) (РР* + + J+1F-' (17.2.12)
где X, Р, | суть функции только от х, a Y, Q, и суть функции только от у.
Докажем теперь, что эти условия являются и достаточными, т.е. что система, для которой
T = L[X + Y) (4 + ^.)-^1-(^+^.), Л
F = -LHL
X + Y '
допускает разделение переменных. Для такой системы модифицированное уравнение в частных производных записывается в форме
и полный интеграл требуемого вида F + G мы можем получить, положив
\Р (?L)2 = hX-l+a, (17.2.15)
LQ (^L)* = hY-г)-а. (17.2.16) Таким образом, получаем полный интеграл
(17.2.13)
К
j ]/-*-(hX-t + a) da;+j |/ L- {hY-r)-a) dy. (17.2.17)
Входящие сюда интегралы интерпретируются обычным образом, например, в первом из них верхний предел равен х, а нижний предел равен абсолютной постоянной или простому нулю функции, стоящей под знаком радикала.
Обращаясь снова к доказательству необходимости, замечаем, что в принятых там обозначениях
0 = (hX — I + а)ІРі Ф = {hY — п - а)10, (17.2.18)
что подтверждает формулы (17.2.9) — (17.2.11).
§ 17.3. Изучение движения системы. Интегралы уравнений движения имеют вид
/-*„ = 4ji=f х dr.+ [ Y Яу (17.3.1)
dh J У2Р (hX —l + a) J у2<2(/гГ-ті-а) V
-? = -^=f 1 -dg- C / 1 -dy (17.3.2)
20 л. А. Парс
306
СИСТЕМЫ С, ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
Py=^T = V-^-(hY-n-a). (17.3.4)
Для решения задачи Лагранжа, описания движения в пространстве х, у, требуются лишь уравнения (17.3.1), (17.3.2); их можно записать кратко так:
dx dy dt ,,7,«
где
R = R(x) = 2Р (hX — ?+ а) (17.3.6)
и
5 = 5 (у) = 2<? (AY - л — а). (17.3.7)
Уравнения (17.3.5), надлежащим образом интерпретированные, позволяют свести интегрирование уравнений Лагранжа к квадратурам. Заметим, что произвольные постоянные h, а линейно входят в R и S.
Положим
-jfy- = dr. (17.3.8)
Переменную т можно интерпретировать как «искусственное время», отсчитываемое часами, движущимися вместе с изображающей точкой в пространстве х, у. Скорость хода этих часов зависит от их положения в пространстве, и так как сумма X + Y всегда положительна, то т всегда возрастает вместе с t. Далее имеем
^T*, (ITA»)
так что
(#)'-"• (-?)'-*• <17-зл0>
Эти уравнения можно интерпретировать подобно тому, как это было сделано в случае одной степени свободы (§ 1.2). Действительно, соотношение между хит здесь такое же, как между х и t в § 1.2. Нужно, однако, помнить, что соотношение между переменными t и т зависит от X и у, так что движения по X и по у фактически не независимы. Тем не менее в известном смысле эти движения можно рассматривать как независимые. Они были бы полностью независимы, если бы сумма X + Y оставалась постоянной (что потребовало бы, разумеется, чтобы X и Y были постоянны по отдельности). Если сумма X + Y изменяется не слишком сильно, то X и у можно считать почти независимыми. В этом заключается смысл несколько туманного утверждения, высказанного в § 17.1.
