Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 145

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 290 >> Следующая


(A1-C)(A2-I-C)

I = SnB, (17.12.5)

U = V(A1-C) (A2 + с) 6,

A1 (K2-с) sn*и+ K2 (K1-c) сп* и М7 12(П

(A2-с) sn2 и+ (X1-C)CnS и • ^1-

Аналогично, с помощью подстановки

(1 + C^ (X1+ с у* с — (X-[Xi — cl — у*

можно правую часть уравнения (17.12.1) записать в форме

2 dy

Vim-*) (иг+с) V(I-J/2) (1-??2)'

(17.12.7)

(17.12.8)

где

2с ((X1-(X2)_ (17.12.9)

((X1-C) ((I2 + с) '

Следовательно,

= sn у,

где

»= V(Hi-C) (Н2 + с) (в-в0), (17.12.10)

и

- ((Xi+ c)sn2i; — ((X1-с)сп2^ (17 12 11)

^ ((Хі + с)йП2у+([Хі — с)СП*у ' '

Мы получили уравнения траектории в виде K = K (6), (х = (х (6). Параметр &2 для эллиптических функций Якоби в выражении (17.12.3) определяется формулой (17.12.4), а соответствующий параметр х2 в выражении (17.12.8) — формулой (17.12.9).

§ 17.13. Неограниченные орбиты. Рассмотрим теперь орбиты, соответствующие положительным значениям h, т. е. орбиты, соответствующие точкам областей 5, 6, 7, 8 на рис. 61. В этих случаях величины (I1, (I2 вещественны, a K2 и (I2 отрицательны. В процессе движения параметр К принимает значения, лежащие вне интервала (K1, K2), а (і — значения внутри интервала ([I1, (i2). Значения К не ограничены сверху, а их нижняя граница равна большему из чисел K1 и с. За исключением одного тривиального случая (когда K1 = с и К первоначально убывает, мы имеем неустойчивое лимитационное движение

S 17.14]

СИСТЕМЫ» ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

327

к X = с), величина X возрастает вместе с t. Более того, X оо с ростом t. Для доказательства этого достаточно заметить, что

У2(Л2_с2)(Ш + и + а) J У2(Ш + и+а) v

и последний интеграл справа расходится.

Поведение переменной ц требует более внимательного рассмотрения. Имеем

ЬтИ^г <"лз-2)

и интеграл в правой части сходится при л —»- оо. Мы имеем пример псевдоли-митационного движения (§ 17.3). Если функция S имеет простые нули, то после конечного числа (которое может быть и нулем) колебаний наступает псевдолимитационное движение к пределу, заключенному между двумя последовательными простыми нулями. Если же один из нулей функции S двукратный, то мы имеем псевдолимитационное движение к предельному значению вблизи двукратного нуля.

За исключением упомянутого выше тривиального случая (который имеет место тогда, когда Xi = с, а функция R имеет двойной нуль), все орбиты при h >• 0 оказываются неограниченными. Такие орбиты менее интересны, нежели ограниченные, и поэтому мы остановимся только на одном частном случае.

Рассмотрим точку, расположенную внутри области 5 на рис. 61. Для точек этой области A1 > с и орбита располагается вне эллипса X = Xi, причем X неограниченно возрастает после возможного (при X < 0 в начальный момент) первоначального убывания до значения A1. В этом случае Li1 > с > > — с > Li2, и на первый взгляд можно было ожидать либрации по координате Li между пределами с и —с. Между тем это не так, ибо, как мы видели, движение по координате ц является псевдолимитационным и после конечного числа колебаний между пределами с и —с величина ц стремится к Li2. Орбита представляет собой спираль, касающуюся снаружи эллипса X = A1 и после конечного числа витков уходящую в бесконечность и приближающуюся к одной из конфокальных гипербол.

§ 17.14. Системы, допускающие разделение переменных более чем одним способом. Как уже отмечалось в § 17.1, свойство разделимости переменных определяется как самой динамической системой, так и принятыми для ее описания лагранжевыми координатами. В некоторых задачах может случиться, что, выбирая по-разному лагранжевы координаты, мы получим несколько случаев разделения переменных для одной и той же динамической системы.

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавшись полярными координатами с началом в притягивающем центре (§ 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. § 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах § 17.10 положить т' = 0.

328

СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

1Гл. XVIJ

Решение и полярных координатах уже рассматривалось нами в примере 5.2В: более подробно мы на нем остановимся в § 18.12 и далее. Рассмотрим решение в параболических координатах. Имеем

Г^,.+Ч(-ТЧ4). •«*">

Система относится к типу (17.2.13), причем

X = P=u, Y=Q=v, І + т) = —ц. (17.14.2)

Функции R и S имеют вид

R = 2hu(u — с), S = 2hv (v — к), (17.14.3)
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed