Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
oo
грал \ „ \ v dt сходится.
Остановимся на одном обстоятельстве, требующем пояснения. Функции R и S зависят лишь от двух постоянных: h и ос, между тем общее решение уравнений движения Лагранжа или Гамильтона для системы с двумя степенями свободы должно содержать четыре постоянные. Выясним значение двух опущенных постоянных, а также установим, почему они играют второстепенную роль в теории классификации траекторий.
Значение одной из этих постоянных очевидно: это — временная постоянная, зависящая от выбранного начала отсчета времени. Если функции х = ф [f), у = г|) (t) удовлетворяют уравнениям движения, то этим же уравнениям удовлетворяют и функции X = = ср (t — t0), у = г|) (t — tg), и значение t0 не влияет ни на траекторию, ни на скорость, с какой она проходится. Вторая опущенная постоянная представляет собой фазовую постоянную; она появляется при интегрировании уравнения, определяющего траекторию,
dx du
утГуг {І1ЛЛ)
Значение этой постоянной оказывает влияние на форму траектории. (В самом деле, в общем случае при заданных Аиа через соответствующую начальную точку х, у проходят две траектории. Пусть, например, А и а выбраны так, что а( И &< Являются последовательными простыми вещественными нулями функции R, причем R > 0 между at и J)1, а а2 и 62 являются последовательными простыми вещественными нулями функции S, причем S > 0 между а2 и Ъг. Тогда, начиная с любой точки х0, у0, расположенной внутри прямоугольника
Ui ^ X ^ bi, а2 ^ у ^ Ь
мы получаем две проходящие через эту точку траектории, удовлетворяющие уравнению (17.4.1). Если бы знаменатели были однозначными функциями, то существовала бы всего одна такая траектория. Но мы имеем дело здесь с (^-пространством, а не с фазовым пространством. Через данную начальную точку проходит бесконечное число траекторий, но лишь две из них отвечают заданным значениям h и а.) Общий характер траектории определяется, однако, лишь нулями функций R и S, т. е. постоянными h и а. Поэтому эти две постоянные играют основную роль в вопросе о классификации траекторий.
§ 17.5]
УСТОЙЧИВОСТЬ
309
Рассмотрим сначала движение по одной из координатных кривых, скажем по кривой X = а. Такая траектория, как можно ожидать, представит особый интерес, так как выбранные координаты таковы, что система обладает ясно выраженным свойством разделимости. Для движений по кривой х = а
нам нужно, чтобы иі,к обращались в нуль при х = а, а это требует, чтобы а было двукратным нулем функции R. Из формул
(X+Y)*x* = R,
(X + Yf X = у R' - (X + Y) (X''х + Y'y) X
(формула для X справедлива и тогда, когда х = 0) видно, что при х = а функции R и R' обращаются в нуль. Поэтому, если координатная кривая X = const является траекторией, то значения h и а должны быть выбраны так, чтобы функция R имела двукратный нуль. Для этого нужно, чтобы h и а удовлетворяли определенному соотношению вида A (h, а) = 0.
Классификацию траекторий в пространстве х, у можно теперь провести, пользуясь вспомогательной диаграммой, в которой в качестве осей взяты h и а. Выбирая определенную точку на этой диаграмме, мы находим соответствующие функции R и S. И хотя, как мы видели, это не определяет единственной траектории, однако все полученные таким образом траектории относятся к одному и тому же типу (или типам), с одними и теми же пределами либрации (если движение является либрационным). Условие, что функция R имеет двукратный нуль, выражается кривой или кривыми вида
A (h, а) = 0. (17.4.3)
Их называют критическими кривыми; существуют также критические кривые, соответствующие совпадающим нулям функции S. Этими критическими кривыми плоскость ha разбивается на ряд областей, и траектории, представленные точками одной и той же области, принадлежат к одному и тому же общему типу кривых, хотя пределы либрации (в случае либрационного движения) для различных точек области будут различны. Тип траекторий изменяется лишь с переходом в другую область, т. е. при пересечении критической кривой.
Некоторые из областей могут не представлять интереса с точки зрения динамики, если точкам h, а ъ них не соответствуют реальные траектории. Эти исключаемые области характеризуются тем, что значения h, а в них таковы, что функция R (или S) отрицательна при всех значениях х (или у). В § 17.6 мы укажем еще на один случай возникновения таких областей.
§ 17.5. Устойчивость. Рассмотрим теперь влияние малых возмущений, обусловленных небольшими изменениями величин h и а. Если траектория соответствует точке h, а, расположенной внутри области (т. е. не лежащей на критической кривой), то малое возмущение приводит к соседней траектории того же типа. Подобные траектории мы будем называть устойчивыми, употребляя этот термин в широком смысле, т. е. не считая, что это обязательно должно означать, что возмущенная траектория лежит в окрестности невозмущенной траектории. В этом смысле термин «устойчивость» означает лишь то, что траектория возмущенного движения относится к тому же типу кривых, что и исходная траектория.
