Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если же траектория соответствует точке h, а, лежащей на критической кривой, то одна из функций R или S имеет двойной нуль. Пусть, например,
(17.4.2)
R = (х — а)ъ ф (х),
(17.5.1)
310
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
где ср (а) ф 0. Если теперь дать малое возмущение, изменив немного значения h и а, то правая часть (17.5.1) запишется в форме
(х — U1) {х — а2) гр (ж), (17.5.2)
где CL1 и а2 почти равны а, а функция гр (ж) мало отличается от ср (х) для значений х, близких к а. В общем случае при перемещениях точки А, а в одну сторону 21 от критической кривой величины а± и а2 будут вещественны и различны, а при перемещениях в другую сторону SB от критической кривой величины O1 и а2 будут комплексны.
Легко видеть, что поведение будет существенно, различаться в зависимости от знака функции ср (а).
1) Предположим сначала, что ср (а) < 0. Для этих значений А, а движением по кривой X = а будет единственное возможное движение в окрестности X = а, так как в точке х, у, для которой R < 0, никакое движение невозможно. Если имеется малое возмущение, то для значений х, близких к а, гр (х) < 0, так что если U1, а2 вещественны, то возмущенное движение представляет собой либрацию между и а2, а если at, а2 комплексны, то в окрестности X = а никакое движение невозможно. Отсюда можно получить два следствия. Во-первых, траектория возмущенного движения (в пространстве (х, у)) заключена между кривыми X = CL1 и х = а2, причем Ci1 и а2 близки к а. В важном частном случае, когда кривые х = const представляют выпуклые замкнутые кривые, возмущенная траектория лежит в узком поясе в окрестности невозмущенной траектории х = а. Эта невозмущенная траектория устойчива не только в введенном выше широком смысле этого слова, но и в более точном смысле, а именно, возмущенная траектория располагается в непосредственной близости от невозмущенной при всех значениях t.
Во-вторых, при переходе критической кривой со стороны Sl на сторону So система траекторий вырождается: траектории располагаются в зонах, которые, сужаясь, стягиваются к отдельным кривым по мере того, как изображающая точка на диаграмме h, а приближается к критической кривой; по другую сторону от критической кривой этих траекторий не существует. Мы уже отмечали выше, что на диаграмме А, а могут существовать исключаемые области такого рода, внутренним точкам которых не соответствуют реальные траектории.
2) Если ср (а) > 0, то картина становится совсем иной. Движение, соответствующее таким значениям А, а, может быть либо движением вдоль кривой X = а, либо лимитационным движением, при котором х -> а при t —> оо, так что при больших значениях t траектория приближается к кривой х = а. Если мы рассматриваем малые возмущения, то вблизи х = а гр (х) > 0. Если возмущение выводит точку А, а в сторону Я от критической кривой, так что величины at и а2 оказываются вещественными, то х во все время движения должно иметь значения, лежащие за пределами интервала (ait а2); при этом возможны две траектории: одна, для которой х ^ at, и другая, для которой х^а2. Если же возмущение выводит точку А, а в сторону Ш от критической кривой, так что величины и а2 оказываются комплексными, то выражение (17.5.2) вблизи X = а положительно, нуля нет и границы для ж-дви-жения тоже нет в окрестности X = а. Таким образом, как и ранее, при пересечении критической кривой и переходе со стороны ?! на сторону й система траекторий исчезает: две отдельные системы сливаются в одну. Первоначальное движение, будь то движение по кривой X = а или лимитационное движение, является неустойчивым даже в широком понимании этого термина: малое возмущение приводит к траекториям совершенно иного типа.
Остается рассмотреть случай, когда точка h, а является трехкратным нулем функции R:
[X + Y)2X2 = (х- af X (х). (17.5.3)
a' 17.7]
ПРИТЯЖЕНИЕ К ЦЕНТРУ ПО ЗАКОНУ h/r
311
Движение вдоль кривой х = а возможно; равным образом возможно и лимитационное движение, при котором X = а является предельной кривой сверху, если % (а) > 0, и снизу, если % (а) < 0. Предположим для определенности, что % (а) > 0. При малых возмущениях правая часть (17.5.3) заменяется выражением
Если а1? а2, а3 вещественны ийі<а.< a3l то для х, близких к а, будем иметь
Если O1 и а2 комплексные, то возможен лишь случай х > а3. В первом случае (когда «і, а2, а3 вещественны) возможна либрация между пределами CZ1 и cz2, но также возможно нелокальное движение, имеющее а3 своей нижней границей. Подобное нелокальное движение является единственно возможным во втором случае. Исходное движение при этом неустойчиво.
Наконец, могут найтись точки, в которых критические кривые функции R и критические кривые функции S пересекаются. В таких точках h, а обе функции RhS имеют двукратные нули; такая точка является точкой равновесия, система в этом положении может находиться в покое. Если точка h, а такова, что
то тогда X = а, у = Ь будет точкой равновесия, и это равновесие будет устойчивым (в обычном статическом смысле), если ср (а) < 0 и гр (Ь) < 0.
