Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Критическая кривая 42. В этом случае щ > = с и
S = 2h' (с - ц)3 (с + и.) (ці - и)-
Движение по координате и> как и в предыдущем случае, есть движение по линии и = с, но в данном случае оно неустойчиво или же является лимитационным; в последнем случае траектория приближается к линии \i = с снизу, подобно тому как это имело место для критической кривой 23.
2) Рассмотрим теперь критические кривые, обозначенные на рис. 61 буквами а, Ь, с, d. Вдоль кривых а и Ъ величины Hi и \i2 комплексны, и движение по координате [і представляет собой либрацию между пределами с и —с.
Кривая a. Xi = X2 > с и
R = -2?' (X2 - с2) (X - Xi)2.
S 17.12]
УРАВНЕНИЯ ОРБИТ
325
Ей соответствует изолированное устойчивое периодическое движение по эллипсу к = kt. Эллипс является возможной орбитой как при движении в поле каждого из притягивающих центров, так и при движении в поле обоих притягивающих центров. (Читатель может доказать это утверждение независимо от общей теории.) Кривая Ъ. с = Ki > K2 и
R = —2h' (к — с)2 (к + с) (к — X2).
В этом случае имеем изолированное устойчивое движение по линии, соединяющей притягивающие центры, заканчивающееся столкновением с одной из притягивающих масс. Кривая с. с = hi > K2 и
R = -2?' (К - с)2 (К +с)(К- K2).
С > Ці > Цо > ^2 > — С
S = 2ti (с2 - н2) (Ц - Hi) (И - V*)-
Подобно случаю Ъ, движение по координате К есть изолированное устойчивое движение вдоль К=с. Движение по координате |х совершается либо между пределами с, Иь либо между пределами р,2, —с. Планета является спутником одной из притягивающих масс; движение начинается из точки вблизи одной массы по направлению к другой и никогда не достигает точки равновесия. Планета сталкивается с притягивающей массой, вблизи которой началось ее движение.
Кривая d. Ki > с > K2. Движение по координате К есть либрация между пределами K1 и с. Кроме того,
H-I > с > ц2 = —с
S = -2?' (и + с)2 (и - с) (и - Hi)-
Движение по координате и есть изолированное устойчивое движение вдоль линии и = —<", планета является спутником массы т.
3) Остается рассмотреть несколько особых точек на рис. 61.
Начнем с точки, общей для областей 2, 3, 4. В этой точке K1 = сев, K2 = се"6, и движение по К является либрацией между Ki и с. Далее, Hi = Нг = с и
5 = 2?' (с — и)3 (с + И)-Движение либо происходит вдоль линии Ц = с, либо является лимитационным; в последнем случае траектория приближается снизу к линии \i = с. Эти движения неустойчивы. Можно считать, что рассматриваемая точка принадлежит кривой 42, которая в этом месте разветвляется на две кривые: 23 и 34.
В точке ab величины ці *и ц2 комплексны, и движение по координате [х является либрацией между пределами с и —с. Кроме того, Ki = K2 = с и
R = —2h' (К + с) (К — с)3.
Движение происходит вдоль линии, соединяющей центры притяжения, и является устойчивым, несмотря на кубический множитель в выражении для R, так как координата К ограничена. Здесь мы имеем особый случай, упоминавшийся в § 17.6.
В точке be пересекаются критические кривые RvS, при этом Kt = C1 и ц.і = Иг — = |х0. В этой точке'
Я = —2?' (К - с)2 (К + с) (К - K2),
S = 2A' (с2 - и2) (ц - ц.0)2-
Движение по координате К есть изолированное движение вдоль линии К = с. Что же касается координаты ц., то имеем либо [х = Li0, либо (х -*- |х0 сверху или снизу. Планета либо находится в покое в точке равновесия, либо стремится к ней в пределе с той или иной стороны, причем движение начинается из точки вблизи одного притягивающего центра по направлению к другому с энергией, как раз достаточной для достижения точки равновесия. Как положение равновесия, так и лимитационное движение являются неустойчивыми.
§ 17.12. Уравнения орбит. После того как мы закончили классификацию возможных типов орбит, можно перейти к непосредственному интегрированию уравнений. Рассмотрим в качестве примера область 1 (рис. 62), для которой траектория, вообще говоря незамкнутая, охватывает оба притягивающих центра и лежит внутри эллиптического кольца X1 ^ 1K ^ X2. Траектория планеты определяется из дифференциального уравнения
dk = dP (п I2 1)
Y(K1-K) (K-K2) (К-с) (К + с) V(C-H)(H + C)(JX1-H)(H2-L1)' V • • '
326
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
в котором K1 > K2 > с > —с и (її > (I2 > с > — с. Движение по координате К представляет собой либрацию между пределами K1 и K2, а по координате (і — либрацию между пределами с и —с.
Приравнивая каждую часть уравнения (17.12.1) величине 2d6, можем выразить К и (і через 0 множеством способов, используя эллиптические функции Якоби или Вейер-штрасса. В результате получим-уравнения кривой в параметрической форме K = X(Q), ix = ц (0). Для иллюстрации приведем один из способов интегрирования.
Применяя подстановку
K-K2 = X2^1 х*^
A1—A Ai — С 1—X* '
запишем левую часть уравнения (17.12.1) в следующей форме:
2 dx
V(K1-c) (K2 +с) У (1-х*) (1-W) •
(17.12.3)
где
Таким образом, где
fr2 — п2с{1ІаКІ \ ¦ (17.12.4),