Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
4. U1 > 0 > u2; P1 > 0 > V2.
Теперь легко указать пределы изменения и, когда точка (щ, и2) располагается внутри любой из четырех областей; аналогичные сведения можно получить и относительно v. В области 1 по координате и имеем либрацию между пределами U1 и и2; в областях 2, 3, 4 и совершает либрацию между пределами U1 и 0. Переменная v в областях 1 и 2 убывает от оо до 0 (на полной траектории), а затем снова возрастает до оо; в области 3 имеются две возможности: а) либрация между V2 и 0 и Ь) убывание от оо до V1 и затем возрастание до оо; в области 4 v ведет себя так же, как в области 3, случай Ь). Наибольший интерес представляет единственный случай ограниченной траектории (область 3, случай а), показанный на рис. 58. В этом случае
А<0, 0<а<?Ь2, (17.9.15)
§ 17.9]
НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ И ОДНОРОДНОЕ ПОЛЕ
319
а в начальный момент
О < V < V2. (17.9.16)
Условие h < 0 эквивалентно условию
*-W*<-^ — gx, (17.9.17)
где W — начальная скорость, а х, у — начальные координаты точки. Условие (17.9.17) при ? = 0 обращается в известное неравенство для ньютоновской эллиптической орбиты. Условию (17.9.17) нельзя удовлетворить, если
гх>Ъ2, (17.9.18)
т. е. если начальная точка расположена справа от кривой rx = Ъ2.
Уравнение траектории можно записать в параметрической форме с помощью Р-функций Войерштрасса с одним вещественным периодом 2т и с одним чисто мнимым периодом 2со3. Можем написать
du -= dv =d0 (17.9.19)
у Au (U1— и) (и — U2) ~[/ Av (V1 — г;) (v2—v)
Для и нужна ^-функция с
tUfH' g3=^ Ы+а)> (17-9-20)
а для V нужна (^-функция с
4 / ft2 , ,„\ Ah i 1№
(!l + a-i»), fa + a-g»). (17.9.21)
Уравнения траектории в параметрической форме имеют вид
U = A + ^(CO1 + J0), y=_A + ^(co3 + 0-Oo). (17.9.22).
Здесь 0 вещественно, первой ^-функции соответствуют инварианты (17.9.20), а второй — инварианты (17.9.21).
Остановимся коротко на вопросе о траекториях, соответствующих точкам на границах области 3 (рис. 57). Этим точкам соответствуют движения по параболам и = const или V = const пли же лимитационные движения, приближающиеся к движениям по этим кривым.
Для граничной кривой 23 (разделяющей области 2 и 3) имеем
R = 2gu{(b — к) — и}{и + (Ъ + к)}, S= 2gv (v — к)2, (17.9.23)
где 0 < к < 6. Возможным движением будет движение по дуге параболы v = к, расположенной внутри параболы и = Ь — к. Это движение неустойчиво, как и лимитационное движение к этой дуге.
Для граничной кривой 34 имеем
R = 2gu (6е~е — и) {и + be9), S = 2gv* (v — 2b ah Є), (17.9.24)
где 0 > 0. Частица движется по линии v = 0 (положительная часть оси х между х = О и X= 6е~е); движение не будет представлять либрацию, поскольку в точке О силовое поле имеет особенность.
Для точек, расположенных на отрицательной части оси и2, ограничивающее область 3, имеем
R = —2gu2 {и + 2Ъ ch O), S = 2gv (be~Q — v) {beQ - v), (17.9.25)
где 0 > 0. Мы имеем устойчивое движение по линии и=0 (отрицательная часть оси х между л; = —йе~е и X = 0). Движение опять-таки не будет либрацией вследствие особенности силового поля в точке О.
Наконец, рассмотрим специальные точки А и В на рис. 57. В точке А имеем
R = — 2gu2 (и + 2Ъ), S=2gv(v—b)2, (17.9.26)-
что соответствует неустойчивому равновесию в нейтральной точке u = 0, v = b (т. е. х = = —Ь, у = 0). Возможпо также движение вдоль отрицательной части оси х, при котором х-*-—Ь, когда t —оо; частица начинает движение с одной из сторон от нейтральной точки с энергией, как раз достаточной для ее достижения. В точке В имеем
R = 2^u (Ь2 — и2), S = 2gvS. (17.9.27)
Если и первоначально возрастает, то оно достигает значения Ь, а затем уменьшается до нуля, у-движенпе происходит по линии V = 0 (положительная часть оси х) либо представляет лимитационное движение к v = 0. Оба эти движения неустойчивы.
320
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
Читатель, который пожелает продолжить классификацию траекторий для других областей и граничных кривых рис. 57, сможет проделать это самостоятельно.
В случае ? = 0 мы имеем одно только поле ньютоновского притяжения. Заметим, что в этом случае задача допускает разделение переменных как в полярных, так и в параболических координатах (§ 17.14).
§ 17.10. Два неподвижных притягивающих центра *). Рассмотрим движение планеты массы то0 в поле сил двух притягивающих центров с массами то и то'; движение происходит в плоскости, проходящей через оба центра. Эта задача представляет большой интерес, поскольку может рассматриваться как некоторый частный случай задачи трех тел. Впервые она была подробно
рассмотрена Лежандром в связи с его у исследованиями по теории эллиптиче-
ских функций. Пусть гиг' будут расстояниями планеты до масс то и то'; введем конфокальные (эллипсоидаль ные) координаты Я и ц:
^~С'Т Я = {(г+г'), ц = !(г-г'). (17.10.1)
Рис. 59. Кривая Я = const будет представлять
эллипс, в фокусах которого расположены притягивающие массы, а кривая li = const — ветвь гиперболы с теми же фокусами. Обозначим через 2с расстояние между притягивающими центрами. Координата Я ограничена снизу (Х>.с), а координата Li ограничена как снизу, так и сверху (c>-li>.— с).
