Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Выбрав оси декартовой системы координат так, как показано на рис. 59, с началом посередине расстояния между притягивающими центрами, будем иметь
г» = (х _ су + у21 г>г = (х + С)2 + у2
Отсюда
~2
my
а -С
0
X2 + у2 + с2 = 4г (г'2 + г2) = Я,2+ Ll2,
CX -
(17.10.2) (17.10.3)
--(г'2 —г2) = — Ян,
и, следовательно.
А/2 = (Я2 - с2) (с2 — Li2). Дифференцируя, получаем
у Xk |х|л
C2J/2
= (^-(С2-Li2) (-JL
№ у
(x2 J
Отсюда находим
Г = Jm0 (i2 + f) = Ц- {(Ян+ Ali)2+ (Я2-С2) (C2-li2) (JL-,
с2
(17.10.4) (17.10.5)
(17.10.6) (17.10.7)
*) Другое изложение задачи о притяжении к двум неподвижным центрам см. в «Лекциях» Якоби [17], стр. 221—231, и в книге: К. Ш а р л ь е. Небесная механика, M., изд-во «Наука», 1966.
S 17.10]
ДВА НЕПОДВИЖНЫХ ПРИТЯГИВАЮЩИХ ЦЕНТРА
321
и, далее.
г/ 1 т т' \ і т т' \ кХ — к'а ._ . _ .
V=-ym0 (Т +—) = -ym0 (-5— + -J—) = _mo__JL, (17.10.9) где
ft = Y (щ + т), к' =у(т — т). (17.10.10) Предположим для определенности, что т > т!, тогда
ft>ft'>0. (17.10.11) Опуская положительный множитель т0, получаем
Я = т(1^)^Я-с8)^+(сЯ-»*а)^>--^^Г (17.10.12)
и видим, что функция Гамильтона относится к типу (17.2.12), допускающему разделение переменных.
Интегралы лагранжевых уравнений движения можно записать в форме (17.3.5):
W = W = ^' («мам,
где
R = 2 (X2 — с2) (hX2 + кХ + а), (17.10.14)
S = -2(с2 - її2) (V + а'ц + а). (17.10.15) Введем следующие обозначения:
L = hX2 + кХ + а, (17.10.16)
M = Ali2 + ft'ji + ct. (17.10.17) В процессе движения будем иметь
L>0, M < 0. (17.10.18)
Пусть Л-і, A.2 — нули функции L, a Li1, р2 — нули функции М. Величины Xi, X2, очевидно, вещественны. В самом деле, если бы Xi, X2 были комплексными, то ft2 < Aah и, стало быть, к'2 <С Aah, так что Li1 и Li2 также были бы комплексными. Последнее, однако, невозможно, так как если бы и L и M имели комплексные нули, то обе эти функции имели бы тот же знак, что и h, и одно из неравенств (17.10.18) не выполнялось бы. Вещественность Xi, X2 будет служить основой для классификации траекторий. Вместо плоскости h, а (§ 17.4) мы воспользуемся плоскостью X1, X2.
Из условий (17.10.18) следует, что если h < 0, то X заключено в интервале (Х\, X2), а (г лежит вне интервала (рь р2), если Li1 и р2 вещественны; если же h > 0, то X лежит вне интервала (X1, X2), а р заключено внутри интервала (Li1, Li2). Комплексные значения P1 и Li2 при h > 0 невозможны.
Определим теперь критические кривые на диаграмме Xi, X2, причем будем считать, что X1 ^X2- Величины Li1 и р2 суть корни уравнения
X2 — JtL(X1 + X2) X + XiX2 = 0. (17.10.19)
Они равны друг другу, если
(X1 + X2)2 = 4X1X2 (к/к')2. (17.10.20)
Положив
или, что то же,
ChO = ^ (17.10.21)
-^ = th2y0, (17.10.22)
представим уравнение (17.10.20) в форме
-Ь- = е±2е. (17.10.23)
21 Л. А. Парс
322
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
Оно определяет две прямые в плоскости X1X2 с одинаковым наклоном к осям. Это — две критические кривые. Далее, если
с2—1^-(K1+X2) с+K1K2 = O, (17.10.24)
т. е. если точка (Ki, K2) лежит на гиперболе
(X1 — ск'Ik) (K2 — ск'/к) = -с2 th20, (17.10.25)
то либо H1 = с, либо IX2 = с.
Прямые (17.10.23), проходящие через начало координат, касаются гиперболы, причем прямая K1 = Х2е29 касается нижней ветви гиперболы в точке (се9, се~в). Нужно определить еще (считая H1^-IX2), какая ветвь гиперболы (17.10.25) отвечает Ji1 = с и какая ц,2 = с. Если Ji2 = с, то (I1 + + (I2 25= 2с и X1 + X2 ^ 2ск/к' = 2с ch 0, так что условие (I2 = с соответствует той части гиперболы, которая расположена справа от точки (сев, се~е). Аналогичные рассуждения показывают, что равенствам (її = —с, ц.2 = —с соответствуют части гиперболы
(X1 + ск'/к) (X2 + ск'/к) = -с2 th 20. (17.10.26)
Обе гиперболы (17.10.25) и (17.10.26) проходят через точку (с, —с).
На этом заканчивается исследование критических кривых, соответствующих нулям функции S (рис. 60). Нулям функции R будут соответствовать критические кривые = X2, X1 = с, X2 = с. Однако некоторые из областей будут исключаемыми.
Рис. 60. Рис. 61.
Если h < 0, то X лежит в интервале (X1, X2), и поскольку X 25= с, область X1 <С с исключается. Если h < 0, то ц, лежит вне интервала ((I1, ц.2), и поскольку с ^ и, ^s= — с, следует исключить область, для которой (Ii > с > —с > > (I2. Так как (її + \х2 > 0, то выполнение условия — с > ц,2 влечет за собой
ВЫПОЛНение УСЛОВИЯ (Ii > с.
Если А > 0, то, как мы уже видели, комплексные значения (її, ц,2 исключаются. Но если (її, (i2 вещественны, то (і лежит между этими значениями, так что области (I2 > с, -—с > (її исключаются. Однако в этом случае условие (I2 > с не является следствием второго условия, так как (її + (i2 < 0.
Если не считать исключаемые области, полуплоскость Яі + X2 разделяется критическими кривыми на восемь частей (рис. 61). Им соответствуют
§ 17.11].
ОГРАНИЧЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ
323
восемь основных типов орбит. Кроме этих восьми основных типов имеются еще другие типы, соответствующие некоторым особым точкам на рис. 61. Это — точки на критических кривых, изолированные точки, для которых три нуля функции R или S совпадают, и точки пересечения критических кривых функций R in S (т. е. точки, для которых соответствующие формы RuS имеют двукратные нули).
