Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Так как Щ, = | меньше, чем величина ^r-?*, которую
здесь следует считать малой, то Щ — малое число. Поэтому можно принять sin/c| = 0, cos /с| « 1 и вместо (5.21)
получим
sin kt ак
і*
-|<?(ЕК
S sin kt ак ’
t*
где ^ = J Q (I) dI— импульс о
силы.
Таким образом, движение приближенно определяется импульсом кратковременной силы; подробности ее изменения в промежутке времени мало влияют на результаты.
2. Действие линейно возрастающей во времени силы Q(t)=$t (t ^=O); здесь р есть скорость изменения силы (рис. 5.12, а). По формуле (5.20) находим
S
Рис. 5.12
= 4-[(к-р|
L о
cos к (t — |)
—----------y^sin kt.
С CK
График движения показан на рис. 5.12, б и выражает сумму линейного и синусоидального слагаемых. Линейное слагаемое представляет изменение обобщенной координаты, рассчитанное в предположении безынерционности системы (квазистатическое перемещение), а синусоидальное слагаемое отражает колебательную часть решения; амплитуда этих колебаний, равная $/ск, увеличивается с возрастанием скорости изменения силы
Пример 5.4. Найти относительные колебания груза в системе, рассмотренной выше в примере 5.1 (стр. 105—106).
Искомое движение должно быть найдено путем решения дифференциального уравнения, составленного выше в примере 5.1. Из записи этого уравнения видно, что вынуждающая сила (ею служит переносная сила инерции) равна
Q (г) = mlff .
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
115
Подставляя это выражение в решение (5.19), находим
?- sin kt — cos M
)•
При достаточно больших значениях времени можно пренебречь первым членом в скобках и рассматривать только процесс установившихся колебаний:
В случае, если Ck (что соответствует реальным условиям), находим
т. е. амплитуда относительных колебаний пропорциональна квадрату скорости и2.
Пример 5.5. Найти движение груза, находящегося на конце консольной балки, если сила P сохраняет неизменное значение, но точка ее приложения движется от левого конца балки к правому с постоянной скоростью V (рис. 5.1, б).
Дифференциальное уравнение движения груза было получено выше в виде (5.9), т. е.
где к2 = 3EJ/(ml3). Согласно (5.19) имеем при t < 1/и:
Амплитуда этих колебаний равна
t
о
или, после вычислений,
Для вертикальной скорости груза находим 3Pv2 Г„. 2 . 2v / kl
116
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Полученным выражениям можно придать следующую форму: V = Vc^
Зт2 — т3
У = кус
2 CL
-2'
3 3
2 (т — I + cos ат) — — sin ат
3(2т —т2) 3
2а
j (1 — а sin ат— cos ат)
ГДЄ Уст — Pj(тпк2) — прогиб конца балки при статическом действии приложенной на конце силы Р, a = MIv и т = vt/l — безразмерные параметры. В момент, когда сила сходит с балки, т = 1 и мы находим
[, 3 (a cos а — sin а) 1
1 +----------------^---------------J-
• 37cyCT Га2 . 1
ух =-----j- +1 — а Sm а — cos а .
Так как в момент исчезновения силы отклонения балки у и скорость у скачков не претерпевают, то последующее движение системы будет происходить по закону свободных колебаний
•
у — у, cos kfA- її. sin At 1
(с отсчетом времени t от момента, когда сила сходит с балки). Наибольшее отклонение составит
^rnax :
Вычисления показывают, что оно может превзойти значение статического прогиба не более чем на 14—15 %.
5. Действие периодической вынуждающей силы. Во
многих технических приложениях возникает задача
о колебаниях, вызываемых действием негармонической, но периодической силы (рис. 5.13)
Q(J) = Qit+Т), (5.22)
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ Ц7
где T — период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического возбуждения колебаний было отмечено, что вследствие неизбежных сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и можно принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15). Te же соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбуждения ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний. Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя путями.
Первый из них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье:
G °°
Q (t) = -j- 2 (Gn cos mot -f ffnsin mot), (5.23)
П=1
коэффициенты которого определяются формулами
T' T
Gn = -^r j" Q (t) cos nait dt, Hn = у- J Q {t) sin mat dt (5.24)
о о
(и = 0, 1, 2„. ..).
Записав уравнение (5.5) в виде
аЧ + СЧ — ~y + 2d (Gn cos ncoi -f- Hn sin W(Of)1
n=l
учтем, что система л и н е и н а; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие каждого из слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты:
1 ГgO , V Gnсов ж»*+Я»Binncnl
«=т[х+2------------------------J- Р-25)
Таким образом, движение, вызываемое полигармониче-ской вынуждающей силой, также является полигармони-ческим. Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого движения не равны отношениям между амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо п-я
