Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 36

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 73 >> Следующая


N == |хЯ

2Асо

sin (cot — у) + —j cos Kmt -

к

У)

]'
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 127

Максимальное значение силы N равно

дг _ .. „ , / , , 4А со

max

Безразмерное отношение Nmax/ff, называемое коэффициентом передачи силы, определяет, во сколько раз наибольшая сила, передаваемая основанию, больше амплитуды заданной вынуждающей силы; оно равно

N

1/*,,4aV='|/ _________*

н г\/ + ft4 у Л _ CO2 V , 4й2С0:

4А2со2

k* j K1

На рис. 6.3, б изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения а/к при различных значениях 2h/k. Полезно заметить, что все кривые, независимо от коэффициента вязкости_ й, пересекаются в точке с координатами (У2; 1); при а/к < У2 вязкость демпферов способствует снижению общей силы, передаваемой на основание, а при а/к > У2 (как это бывает в хорошо амортизированных системах)—эту силу увеличивает.

2. Действие произвольной вынуждающей силы. В общем случае, когда вынуждающая сила представляет собой произвольно заданную функцию времени Q{t), следует исходить из дифференциального уравнения

aq + bq + cq = Q(t), (6.14)

общее решение которого можно получить способом, которым мы пользовались в § 5 при выводе формулы (5.19).

Пусть к системе в момент I прикладывается мгновенный импульс величины S. Последующий процесс представляет собой затухающие колебания, описываемые выражением (2.9). Постоянные Aaa определим из условий в начале движения,— при t = | должно быть q = 0 и qo = S/a:

, Seh^

ак %

а = — ft*

* "

Таким образом, движение, вызванное однократным импульсом, описывается законом

Ч = ~^ic—sin к* (* ~ S)- (6.15)

Рассматривая вынуждающую силу как последовательность элементарных импульсов Q(Z,)d% и интегрируя
128 ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

(6.15), получим для пулевых начальных условий решение

с-

= We I ® ® Є—Мї-g) sin kt (t — I) dl.

(6.16)

В некоторых случаях удобно пользоваться решением в ином виде, подобном выражению (5.20). Если функция Q(t) дифференцируемая, то поступая, как в § 5, получим

Я = —с- {<? (0 — (? (°) e~ht ( cos к% t + sin к

і

-j?®'

cos к#(і — I) -f — sin /Cs!; (t — і)

dl . (6.17)

Если же сила Q(t) претерпевает конечные разрывы A(?i, А(?2, ... в заданные моменты времени ¦ ¦ ¦, то

I f

t

- J Q(I) e-W-V [cos/;* (t-D + j?-sinfc* (t - ?)] dl _ о

— 2A<?ie“ft(‘^Si)[cos к* (t — li) -f -^-sin Jc* (t — li) j|. (6.18)

г=0 * J

Пример 6.2. Найти движение системы, вызываемое действием линейно возрастающей во времени силы, график которой

показал на рис. 5.12, а, учитывая вязкое сопротивление, характеризуемое коэффициентом h.

В данном случае удобно воспользоваться решением в форме (6.17).

Подставляя Q = [5, находим fU ре-ftfSinAr**

Q = -

Ckst

Колебания постепенно затухают и f движение приближается к движению вырожденной безмассовой си-Рис. 6.4 стемы q = fii/c (рис. 6.4).

3. Действие периодической вынуждающей силы. Если

сила задана в виде периодической функции времени периода Т, то, как и в § 5 п. 3, вызываемые ею установив-
§ 6 СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ

129

шиеся вынужденные колебания можно найти двумя способами.

Чаще всего исходят из того, что периодическую функцию Q(t) можно разложить в ряд Фурье п затем суммировать движения, вызываемые каждой из гармоник. Тогда на основе решения (6.8) можно, подобно (5.25), записать для установившихся колебаний

Кроме обозначений, поясненных выше в связи с выраженном (5.25), здесь обозначено:

Как уже указывалось, ряд (6.19) иногда сходится недостаточно быстро и для достаточпо точного описания движения приходится учитывать значительное число членов ряда. От этого недостатка свободен другой способ, который основан на свойстве периодичности установившегося процесса движения.

Примем некоторый момент за начало отсчета времени и обозначим, как обычно, до — пачальное значение обобщенной координаты, <7о — начальное значение обобщенной скорости. Тогда, подобно (5.27) и (5.28), найдем

<

+ (S) в sin ft* (t -t)dl.

о

О

і А* <7 4- А 7 • і

q = e-м у-----------------------------------------------п——-° sin Jc^t -f q0 cos ft*« J -f (6.21)

q = e~ht I —

f

+ f G (I) e-h«-U COS ft* (t -I) dl -

- SF, f 0 © ft* (t - I) dg.

0

Я. Г. Панов ко
130 ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Подставив сюда t = T, получим выражения для q (T) и

q(T). Далее в соответствии с условиями периодичности в левые части вместо q(T) и q(T) можно подставить соответственно Qn и qo- Это приводит к двум алгебраическим относительно qo и qo уравнениям:

до (ЄПТ _ cos ВД _ ktT =

= ^ (С* sin KT — S* sin k*T)t

і +M ^ (6-22)

q0 sin KT+ («лг _ cos ktT) =

= сояKT + S* sin KT)>

в которых для краткости введены обозначения

т

C*=JC(g)e«cosfc*Sd5.

0T (6.23)

<5* = J <?(?)eftSsin KldI-

о

Из уравнений (6.22) находим значения qо и д0 и, вернувшись к первому из выражений (6.21), получаем окончательное решение задачи:

g-fiT

® Ciklt (l — 2ehT cos к%Т -j- e2hl)

X {[ehT (C* sin KT —S* cosKT) + -S'*] COS Kt +
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed