Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
решение уравнения (5.13) при произвольных начальных условиях имеет вид
В случае нулевых начальных условий, полагая q (0)=0, g (O) = 0, получаем
где И и со — амплитуда и частота вынуждающей силы. Следует иметь в виду, что во многих случаях (к ним относится и показанный на рис. 5.4) амплитуда вынуждающей
вынуждающая сила изменяется по
Q = H sin at,
Рис. 5.4
q + k2q = — sin at
(5.13)
(off
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
107
Следовательно,
q = , /7—57 (sin at
а (к2—a2) I
in kt j. (5.14)
Полученное решение представляет разность двух гармонических составляющих с различными частотами. В действительности этот процесс можно наблюдать лишь в самом начале, так как неучтенные при составлении уравнения силы трения вызывают постепенное затухание колебаний с собственной частотой к (см. ниже § 6). Поэтому по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой со.
Если частоты а ж к близки между собой, то возникнут биения, как и всегда при сложении двух гармонических колебаний (см. § 4, рис. 4.5); однако и в этом случае с течением времени и постепенным исчезновением одной из гармоник (с частотой к) движение будет все больше приближаться к моногармоническому с частотой (0.
Таким образом, наиболее существенная, стационарная часть процесса (установившиеся вынужденные колебания) описывается первым членом выражения (5.14)
Амплитуда этих колебаний, происходящих с частотой а, определяется выражением
знаменатель которого (динамическая жесткость) характеризует эффективную жесткость системы при гармоническом возбуждении. Выражение 1/1 с — aiO2I определяет амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика, для обозначения которой в технической литературе пользуются аббревиатурой АЧХ).
Выражению (5.16) можно придать вид
— коэффициент динамичности, показывающий, во сколь-
(5.15)
Здесь
А. Р^СТ* 1
(5,17)
H =
|1-Ю2/*2!
ДО8
ГЛ. IX. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ко раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше перемещения Qc-T = HIc, вызываемого статически приложенной силой II. Для случая, когда H не зависит от со, зависимость коэффициента динамичности от отношения частот оу/к представлена графиком на рис. 5.5 («резонансная кривая»).
Как видно, с возрастанием частоты со от нуля коэффициент динамичности увеличивается и при ы/к 1 стремится к бесконечности. При дальнейшем возрастании
І0
3.0
2.0 1,0
—
1/ \
/
Рис. 5.5
0,5 1,0 1,5 2J3
Рис. 5.6
и)
T
частоты коэффициент динамичности постепенно убывает и при о)//с > V2 становится меньшим единицы; в этой области динамический эффект вынуждающей силы слабее, чем при ее статическом действии. Этим свойством часто пользуются в технике, а именно, для уменьшения колебаний объектов, подверженных действию гармонических вынуждающих сил, уменьшают жесткость упругих связей; при этом собственная частота уменьшается, а вместе с тем возрастает отношение ы/к. Нужно отметить, что согласно (5.15) при ы/к < 1 перемещения находятся в фазе с вынуждающей силой, а при ы/к> 1 — в противо-фазе.
Если H = Ка2, где К — постоянная (например, в машинах с неуравновешенными роторами К = Mr, где M — масса ротора, г — эксцентриситет центра тяжести, см. рис. 5.4), то согласно формуле (5.16) амплитуда колебаний следующим образом связана с отношением час-
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
109
Соответствующая резонансная кривая показана на рис. 5.6. В отличие от резонансной кривой на рис. 5.5 при неограниченном возрастании частоты со амплитуда колебаний стремится не к нулю, а к значению К/а.
Особое состояние системы при со = к называется резонансом; для этого состояния решением (5.14) пользоваться нельзя, так как оно было получено в предположении, что о) Ф к. В резонанспом случае вместо (5.13) нужно исходить из дифференциального уравнения
q-\-k2q= sin kt,
решение которого при нулевых начальных условиях имеет вид
q = —[kt cos kt — sin Ы].
Здесь нужно обратить внимание на появление члена kt cos kt, содержащего время вне знака косинуса, т. е. неограниченно возрастающего во времени; этот член называется резонансным (вековым). Ниже, в § 6, будет установлено, что силы трения ограничивают это возрастание, так что амплитуда колебаний остается конечной и при t-*¦ °о.
Пример 5.2. Вдоль пути синусоидального профиля
. . пх
У о = Vin T (а)
(рис. 5.7) с постоянной горизонтальной скоростью v движется упруго подвешенный груз массы т. Определить наибольшее допустимое значение коэффициента жесткости подвески с, если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превосходила 0,0540.
Подставив в (а) х =
= vt, найдем ординаты нижнего конца пружины в функции времени:
yO = VinT-
Обозначив через у абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уравнения, имеем дифференциальное уравнение —с (у — у о) = ту, или
HO
ГЛ. XI. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ