Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Q1 = Air sin (krt + ar) (/ = 1, 2, ..., s). (4.70)
В этом случае отношения между обобщенными координатами будут оставаться неизменными во времени и соответствуют г-й собственной форме. В частности, для реализации этого r-го главного колебания достаточно, чтобы в начальный момент обобщенные скорости равнялись нулю, а обобщенным координатам были иридапы значения, определяющие r-ю собственную форму.
Пример 4.5. Найти движение системы, рассмотреппой в примере 4 1, если состояпие равновесия парушается приложением к цен*гру тяжести груза мгновеппого импульса S.
В данном случае пачальпые условия должны быть сформули-ропапы следующим образом:
У (0) =0, у (0) = , ф (0) = 0, ф (0) = 0.
Общее решение имеет вид
у = Ан sin (ktt + (Xi) + ЛI2 sin (k2t + а2),
Ф = A21 sin (k\t + аі) + A2г sin (k2t + а2).
Подставляя сюда пайдепные в примере 4.4 отпошепия амплитуд, находим
у = A1 г sin (Zc1 f + K1) + A12 sin (у + OS2),
3 21
<?=2ІАп sin (V + ai) - A12 sin (у + су.
Для определения четырех неизвестных Ли, Л12, ai, а2 используем указанные выше начальпые условия:
3 . 21
94
ГЛ I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Отсюда находим
Sr
" УSmlEJ'
95 р“
О,
Sr
'81 YmlEJ' 1 Следовательно, движение описывается уравнениями
I , 9 ря
yf Sln V + 8" р sm
У з , з р
—2“ Sln — 4” У Sm 2
K2 = °.
ф =
У mlE J SI
к Л
УmlEJ . и посит двухчастотный характер.
6. Случаи кратных н нулевых корней. До сих пор, говоря о корнях частотного уравнения, мы считали их простыми и не равными нулю. Однако в некоторых случаях частотное уравнение может иметь как нулевые, так и кратные корни.
Убедимся в возможности этого на примере механической системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что при выполнении равенства
(°11с22 j а 22е Il ^a12Cj2)2 =
= 4 (с11^22 сіг) (ana22 ^12) (4./1)
два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполпеппи равенства
сис22 — С1
(4.72)
один из норной частотного уравнения обращается в нуль. He следует думать, что равенства (4.71) или (4.72)
выполняются при каких-то исключительных обстоятельствах; в действительности системы с кратными или нулевыми корнями встречаются довольно часто.
В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 4.8. Обозначим через Ci и сг коэффициенты жест-
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 95
кости пружин, а через т и р — массу и радиус инерции
юла относительно оси, проходящей перпендикулярно
плоскости чертежа через центр тяжести. За обобщенные координаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела у и угол поворота тела ф. Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде
T (У2 + Р2Ф2),
с, (и + Vp)2 , сг(у~12ф)2 11 ~ 2 2
Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму
ту H- (Cl + с2) у + (C1I1 — C2I2) ф = О,
(4./о)
тер2ф + (C1Zi + C2I22) Ф + (Cih — C2I2) IJ=-O.
Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (и реально осуществимым) соотношениям:
Cih = c2h, P2 = hh; (4.74)
тогда вместо полученных дифференциальных уравнений имеем
ту+ (сі + с2) у = 0, ^
тц> + (сі + с2) ф = 0.
Следовательно, инерционные коэффициенты и обобщенные коэффициенты жесткости в данном случае определяются формулами
а\і = а22 = т, «12 = a2i = О,
Cu = C22 = Cl + C2, Ci2 = C2I = О
и условие (4.71) выполняется, т. е. обе частоты рассматриваемой системы равны одна другой. Впрочем, это видно непосредственно из уравііеіііііі (4.75), так как
*¦ = *• - V 4s-
Ввиду независимости уравпений (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с постоянными
96
ГЛ. I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
777777777777777777777777777777/
интегрирования другого уравнения:
у = Ai sin (kt + cci),
<р = Ai sin (kt + CC2)-
Для определения постоянных Al, Ач, а\, сс2 служат четыре начальных условия.
В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа t sin kt и t cos kt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций; в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это относится к диссипативным системам).
Простые примеры систем с одной пулевой собственной частотой показаны на рис. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на системе, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: с — жесткость вала на кручение*), Ii, Z2 — моменты инерции дисков относительно продольной оси системы.
Принимая за обобщенные координаты углы поворота Фі и ф2 дисков относительно некоторого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии системы:
