Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Основной способ (уравнения Лагранжа). Прежде всего находим кинетическую энергию грузов
_ Tn1X21 TTl2Xl 2 + 2
и потенциальную энергию деформации пружин
с,a2 C1 Ix^ — х\2 TI— 1 1 I 2^2 1'
11 " 2 2
Далее образуем производные, необходимые для подстановки в уравнение Лагранжа (4.1):
ОТ • дТ
—— = TTl1Xv —г = Hl2Xi,
Ox1 дх
d / дТ \ - d / дТ \
5 (-)=**• =
on , OW . .
= C1X1 — C2 (х2 — X1), = C2 (х2 — Z1).
Теперь записываем уравпошш (4.1):
HliXi + ClXl — с2(х2 — Xl) = О,
Hl2X2 + C2 (х2 — Х\) = 0.
Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их скак свободные тела под действием сил упругости Ni и N2, определяемых удлинениями AZi и AI2 обеих пружин (рис. 4.1, б):
Ni — CiAZi = ci^i,
N2 = C2M2 = с2(х2 -Xi). Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид
HiiXi = -/Vi + N2,
Tn2X2 = -N2.
76
ГЛ, I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Подставив сюда выражения для сил TVi и N2, приходим к ранее полученной системе уравнений:
JTlXl + CiXl — С2{Х2 — Xl) = О, тх2 + С2 (х2 — Xi ) = 0.
Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций -TOiir1 и —ПІ2Х2 (рис. 4.1, в). В этой схеме первая пружина нагружена силой —тп\Х\ — ТП2Х2, а вторая пружина — силой —тп2Х2- Перемещение х\ конца первой пружины, равное ее удлинению, можно записать в виде
X, =
Перемещение правого конца второй пружины Х2 равно сумме удлинений обеих пружин, т. е.
— m. х, — т т
Xi =-----!_!---+ _—LJ.
(4.6)
Из двух последних соотношений !Получаем
M1X1 4- Jtl2X2 -j- C1X1 — 0,
^ TnlX1 + т2 ^l + X2 + C2X2 = 0.
Полученные (Выше IIO основному и прямому способам формы записи совпали потому, что при нашем выборе обобщенных координат кинетическая энергия имеет каноническую форму.
S
т=4- 2 (4-7>
т. е. не содержит (произведений скоростей q,qh при j Ф к.
При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит толь-
ко по одному обобщенному уокорепию, как это получается и при пользовании прямым способом. Если обобщенные координаты были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная энергия
§ 4 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
77
то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными с помощью обратного способа. Сопоставляя полученные варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: при составлении системы уравнений по прямому способу а„ — 0 при і Ф /, а при составлении по обратному способу Ci1 — 0 при і Ф /. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (4.4) к системо 8
&іЧі “Ь CjhQh = 0 (j — 1,2,..., s), (4-9)
ft=l
а применяя обратный способ — к системе
s
S Cijkqk + Cjqj = О (/=1,2,..., s) (4.10) &=i
(вместо а„ в уравнениях (4.7) и (4.9) записано а„ так как второй индекс становится лишним; аналогично, вместо C11 в уравнениях (4.8) и (4.10) записано cs).
Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных координат можно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты (/ = I, 2, ..., s) называются нормальными или главными. При этом
8 8
г=4-2а&’ п=42с&? <411)
3=1 3=1
и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид
ait> +C1I1 = O (/ = 1, 2, ..., s). (4.12)
Каждое из них интегрируется независимо от других. Короче говоря, при использовании главных координат система как бы представляет собой совокупность независимых парциальных систем с одной степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие кинематические параметры (или их комбинации) являются главными координатами, и для перехода к ним требуются обширные выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении задачи г. произвольно принятых (не главных) обобщепных координатах. Поэтому введение понятия главных координат практически не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но весьма
78
ГЛ X СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
полезно для углубленного понимания их закономерностей и для теоретического анализа.
Связь между вариантами записи (4.9) и (4.10) удобно проследить, исхдя из фундаментального соотношения, определяющего статические перемещения в упругой линейной системе общего вида-
Я і — S к=1
(/ = 1,2, ..., s),
(4.13)
В которой Sjfc—коэффициент влияния для перемещений, т. е. значение /-й обобщенной координаты, соответствующее дехіствию статически приложенной к-й обобщенной силы, равной единице (в строительной механике величины Slh называют единичными перемещениями). В матричной форме соотношения (4.13) имеют вид
{д} = [6]{Л, (4.14)
где
и.
(4.15)
представляет собой матрицу-столбец (вектор) обобщенных координат,
б,
[б] =
- б б
uIl 12
б б
21 22
_ ^sl б«2
Is
бо
(4.16)
— матрицу коэффициентов !ВЛИЯНИЯ для перемещений,
(F,
{F} =
матрицу-столбец (вектор) обобщенных сил. Введем матрицу
(4.17)
IS
[в]'
[г] =
(4.18)
82
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
