Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.2. Найти собственные частоты для системы, рассмотренной выше в примере 4.1.
Подставляя решение (4.27) в найденные рапее дифференциальные уравнения (стр. 82), получим однородную систему
(ml3 о \ о I2 о
1з?7& -Ij^1+ mP 2ШкАч==0’
ml ,
Шк'л1
2i
rnp I 2 EJ 1С
IM.,
0.
Далее составляем определитедь
mf
WJ
т р
2 EJ
тГ 2 EJ1
тр21
WJ
Г - 1
после развертывапия которого получим частотное уравнение
TTi2P2Ii
12 (EJ)2
і / mp2l ml3 \
~ !“ёТ" + Wl)
г -ь і = о.
Его КОрНИ (для р <С V) имеют вид
k\-
3 EJ ml3
1 412
kI
9 EJ ml3
4Г
9р2
3. Собственные формы. Если вернуться к систем© уравнений (4.28) и подставить в нее какой-либо і-й корень частотного уравнения, то одно из уравнений станет следствием остальных, т. е. независимых уравнений остается только S-1; сказанное вытежает из общих свойств однородных систем алгебраических уравнений. Эти уравнения связывают между собой s амплитуд Au, Au, .. ., Asi и позволяют выразить все амплитуды через какую-либо одну из них, например через первую. Совокупность отношений
%9.i —
¦^21
А .»
"11
А .’
Il
=
(4.44)
определяет относительные амплитуды рассматриваемой і-й гармоники, т. е. описывает конфигурацию системы в процессе свободных колебаний с і-й собственной частотой; эта конфигурация определена с точностью
§ 4. СИСТЕМЫ С ИЕСКОЛЬКИМЙ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 87
до одного произвольного множителя, т. е. масштаб конфигурации остается неопределенным.
Такие конфигурации системы зависят только от свойств самой системы и называются собственными формами:; каждому корню частотного уравнения соответствует своя собственная форма, определяемая отношениями (4.44), т. е. число собственных форм равно числу степеней свободы системы.
Величины Xj1 называются коэффициентами собственных форм; они определяются только параметрами самой системы (коэффициенты формы не обязательно безразмерные величины, так как обобщенные координаты могут иметь различную размерность). Так как общий масштаб каждой из собственных форм произвольный, можно один (любой) коэффициент формы положить равным единице. Число остальных коэффициентов Zjl равно s — 1 для каждой собственной формы, т. о. составляет s(s — 1) для всех собственных форм.
Общее решение (4.33) с помощью коэффициентов формы записывается в виде
S
qj = 2 KjiA1I sin (ktf + а і)
г=1
(/ = 1, 2, s, Хн = 1; і = I, 2, ..., s), (4.45)
т. е. содержит 2s постоянных (s амплитуд Au и столько же начальных фаз а,); для определения этих постоянных служат 2s начальных условий, выражающих значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в начальный момент.
Если подставить какое-либо i-e частное решение в систему (4.9), то получим следующие соотношения:
8
ajkiXji -j- .Cjr^ri 0 (4.46)
Г=1
(/ = 1, 2, ..., s; і = 1, 2, ..., s).
Аналогично, после подстановки г-го частного решения в систему (4.10) найдем
S
hi 3 0 (4.-47)
г—1
(/ ¦ 2, ..., s, & I, 2, ..., s).
Эти соотношения будут использованы ниже, в п. 3 § 8.
88
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пример 4.3. Найти собственные частоты и собственные формы для системы, показанной на рис. 4.1, приняв для примера C1 = = с2, ті = т2 = т. Подставим решения (4.27) в получеппые выше дифференциальные уравнения (4.5), положив qi = хи q2 = = х2; тогда получим
(2г0 — тк2)А і — C0A2 = О, ¦—cO-^i (со — тк2)А2 = 0.
Из равенства нулю определителя
2с„ — тк“
с0 - тк
: о
следует частотное уравпепие
Сл Ct
о J »2 і 0
3Vik +“а = 0-
т т
(а)
Отсюда находим два корпя: !.2
т. е.
К,г ~ 2т (3 -- ’
^= 0,382?, **= 2,618?.
Положив Ku = к 12 = 1, для определения остальных коэффициентов собственных форм воспользуемся первым из уравнений (а)
(то Hte можно получить и из второго уравнения):
/
і,В1й
*21 = -
2 Cfl — тк\
= 1,018,
2с0 - тк\
= — 0,618.
Рис. 4.6
Соответствующие собственные формы показаны па рис. 4.6, о, б.
Полученные выше общие соотношения можно записать короче в матричной формо.
Вместо уравнения (4.4) пмеем
[a]{q} + [c\{q} = 0, (4.48)
где {q) — матрица-столбец (4.15),
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 89
— симметричная матрица инерционных коэффициентов,
cH с12 • • cIS
[с] = С21 С22 ‘ • C2S (4.50)
_ Csl CS2 css _
— симметричная матрица коэффициентов жесткости. Решение уравнения (4.48) будем искать в виде
(4.51)
где
{q} = ІА} sin (kt + а), (А,
{Л} =
— матрица-столбец амплитуд. Подставляя (4.48), получаем матричное уравнение
т. е.
[а] {А)к2 + [с] (А) — О, ( И - M А;2) Ш = 0.
(4.52)
(4.51) в
(4.53)
(4.54)
Отсюда видно, что матрица-столбец {А} отлична от нуля только при условии
dot ([с] — [а] к2) = 0, (4.55)
которое совпадает с частотным уравнением (4.29). Пере-urrcaiB равенство (4.53) в ииде
[а]-1[с](А} = кЧА), (4.5G)
замечаем, что {А} является собственным вектором 'матрицы [а]-1 [с]> a — собственным значением этой матрицы.
