Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3.1. Найти частоту малых свободных горизонтальных колебаний круглого однородного диска, упруго закрепленного при помощи пружины с вертикальной осью (рис. 3.4). Качение диска по горизонтальной плоскости происходит без скольжения. При вертикальном расположении оси пружины, т. е. в положении равновесия, натяжение пружины равно пулю. Обозначения: R — радиус диска,
т — его масса, I — длина пружины в не-деформированном состоянии, с0 — ее коэффициент жесткости.
Принимая за обобщенную координату х горизонтальное перемещение центра диска, находим кинетическую энергию:
‘2 г' 2
тх Ix Подставляя I = тЛ2/2, находим
т. е. инерционный коэффициент равен
3
a = т. (а)
Для определения потенциальной энергии пружины прежде всего найдем ее удлинение при горизонтальных отклонениях верхнего конца
M = i/р + X2-L
Следовательно,
П=т со I + Z2-1Y-
Разлагая полученное выражение в ряд и удерживая один первый член разложения, находим
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 65
отсюда следует, что характеристика восстанавливающей силы ч и-сто кубическая:
ОТ С0Х3 F (х) = T-= —г.
' > дх 2I
Полученное выражение соответствует зависимости (3.7), в которой нужпо положить $ = с0/(212), п = 2. Теперь по формуле (3.8) и таблице значений і* (п) находим искомую частоту свободных колебаний диска:
к ==0,8472 ]/ ^ у = 0,4891 |/^-
Пример 3.2. Найти способом поэтапного интегрирования связь между амплитудой и частотой свободных колебаний системы с зазором (рис. 3.2, б). Симметричная кусочно-линейная характеристика системы определяется уравнениями
к (х) = Cg (X Ag) , X < Aq,
F(X) = 0, — A0 < X < Aq,
F(X)=C0(X-Aq), X > Aq.
На первом участке при х > A0 дифферепциальпое уравнение движения имеет вид
Cn
х
(X-A0) = O,
и его общим решением служит выражение
X = С j sin k0t —?-2 cos k0t —A0,
в котором к0 — \'с0/т (т — масса груза). Постоянные Ci и C2 определяются из начальных условий
х(0)=А, ?(0)=0
и равны
Ci = О, С% = A — A0.
Таким образом,
х = A cos k0t + Л0(1 — cos k0t),
X = — (А — Ag) к0 sin kgt.
Время t\ прохождения первого участка найдем из условия, что при t = tx должно быть X = A0:
п
*1=2У
При этом скорость в конце первого этапа равна
Xi2 = (A A^) А-0.
Свободное движение на втором участке описывается дифференциальным уравнением
тх = О,
5 и Г. Пановко
06
ГЛ I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
имеющим решение
x — Dt 4- D2t.
Совмещая повое начало отсчета времени с моментом перевода системы с первого участка на второй, определяем постоянные D\ и D2 из условий, что х = A0, х = —(А — A0) к0 при t = 0. Отсюда следует
Di = A0, D2 = — (А —- A0) ко, так что на втором этапе движения
х — A0 — (А — A0) k0t.
Теперь найдем время, необходимое для перехода системы из положения, характеризуемого координатой xt2, в положение, соответствующее координате х-Q'.
t =____________
2 (А - A0) к0 •
Таким образом, частота свободных колебаний равна
_2я___________К________
— h+t2 — 2
1 + *(AIA0-i)
3. Приближенные способы. Из-за громоздкости интегралов, входящих в точную формулу (3.6), для определения частоты свободных колебаний часто пользуются приближенными способами. Конечно, их ценность несколько упала из-за возможностей, которые ныне предоставляют современные ЭВМ; однако эти способы до сих пор остаются весьма полезным средством для выявления общего характера зависимости частоты колебаний от их амплитуды, а также для приглидочных расчетов.
Рассмотрим несколько приближенных способов применительно к случаю симметричной характеристики F(q). Отметим, что некоторые из них разработаны для значительно более широкого круга задач, чем рассматриваемые в этом параграфе, и будут неоднократно встречаться в последующем изложении.
Простейший способ. Наиболее прост, хотя не всегда достаточно точен, следующий прием. Примем, что колебания в нелинейной системе с симметричной характеристикой описываются законом
q = A sin(kt + а), (3.11)
подобно тому как это происходит в лпнойпьтх системах. Выражение (3.11) является точным решением только
§ 3 НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 07
тогда, когда характеристика F(q) линейна. В общем случае подстановка (3.11) в дифференциальное уравнение
(3.1) не обращает его в тождество.
Отметим, что в моменты !прохождения через положение равновесия уравнение (3.1) удовлетворяется выражением (3.11), и потребуем, кроме того, чтобы уравнение
(3.1) удовлетворялось также в те моменты, когда обобщенная координата q достигает максимума, т. е. равна А. При этом обобщенное ускорение q также максимально по модулю:
{/max Ah .
Следопательно, в указанные моменты должпо выполняться равенство
-аАк2 + F(A) = О,
т. е.
*¦ = (3.12)
Последнее выражение позволяет легко получить достаточно правильное общее представление о связи частоты к с амплитудой А.
Так, если нелинейная характеристика имеет вид (3.7), то по формуле (3.12) найдем для частоты выражение
к = /т=Vi л'~‘-
которое содержит верную степень амплитуды (см. точное решение (3.8)), но лишь 'приближенно определяет значение коэффициента при An-1; если, например, п = 2,
